MATEMANIJA

Pozdrav. Imam dva zadatka ne znam ih rijesiti, pa sam mislila da pitam Vas.
1. Vektori [inlmath]\vec a=(1,1,1)[/inlmath], [inlmath]\vec b=(1,2,1)[/inlmath] i [inlmath]\vec c=(-1,1,2)[/inlmath] na ivice paralelopipeda.
Naci zapremiu paralelopipeda, ja to uradim i dobijem [inlmath]3[/inlmath].
Naci vektor visine [inlmath]\vec h[/inlmath] normalan na vektore [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].

I drugi zadatak:
U ravnokrakom trapezu [inlmath]OACB[/inlmath] je ugao [inlmath]BOA=60[/inlmath]. [inlmath]OB=BC=CA=2[/inlmath]. Tacke [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]P[/inlmath] su sredine strana [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]OA[/inlmath]. Izraziti vektore [inlmath]\vec{AC},\vec{OM},\vec{ON},\vec{MN},\vec{PM},\vec{NP}[/inlmath] preko [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath], jedinicnih vektora stranica [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath].

indira-aa je napisao:1. Vektori [inlmath]\vec a=(1,1,1)[/inlmath], [inlmath]\vec b=(1,2,1)[/inlmath] i [inlmath]\vec c=(-1,1,2)[/inlmath] na ivice paralelopipeda.
Naci zapremiu paralelopipeda, ja to uradim i dobijem [inlmath]3[/inlmath].

Da, dobije se [inlmath]3[/inlmath].

indira-aa je napisao:Naci vektor visine [inlmath]\vec h[/inlmath] normalan na vektore [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].

Pa nađeš vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].
Ako je potrebno da taj vektor bude jedinični, podeliš ga zatim njegovim intenzitetom.

indira-aa je napisao:U ravnokrakom trapezu [inlmath]OACB[/inlmath] je ugao [inlmath]BOA=60[/inlmath]. [inlmath]OB=BC=CA=2[/inlmath]. Tacke [inlmath]M[/inlmath], [inlmath]N[/inlmath] i [inlmath]P[/inlmath] su sredine strana [inlmath]BC[/inlmath], [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]OA[/inlmath]. Izraziti vektore [inlmath]\vec{AC},\vec{OM},\vec{ON},\vec{MN},\vec{PM},\vec{NP}[/inlmath] preko [inlmath]\vec m[/inlmath] i [inlmath]\vec n[/inlmath], jedinicnih vektora stranica [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath].

Nije mi poznat termin ravnokraki trapez, a ni Google mi nije dao nijedan rezultat za taj upit. Pretpostaviću da misliš na jednakokraki trapez, s obzirom na date dužine stranice, s kojima nije moguće konstruisati nikakav drugačiji trapez, do jednakokrakog.


Pošto se traži da se svi traženi vektori izraze preko jediničnih vektora stranica [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath], potrebno je svaki od traženih vektora izraziti ili preko vektora tih dveju stranica, ili preko vektora stranica koje su paralelne stranicama [inlmath]OA[/inlmath] i [inlmath]OB[/inlmath]. Za nalaženje nekih od traženih vektora biće ti potrebno da odrediš dužinu stranice [inlmath]OA[/inlmath], za nalaženje nekih drugih biće ti potrebno da odrediš dužinu srednje linije trapeza.

Npr. da pronađeš vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath], potrebno je da ga izraziš preko vektora [inlmath]\vec{OA}[/inlmath], [inlmath]\vec{OB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{BC}[/inlmath]:
[dispmath]\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{OB}+\vec{BC}=-\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{BC}=\cdots[/dispmath]
Svaki od ova tri vektora zatim predstaviš kao proizvod skalara (koji predstavlja dužinu odgovarajuće stranice) i jediničnog vektora te stranice – npr. [inlmath]\vec{OB}=2\vec n[/inlmath].

Na isti način nađeš i sve ostale vektore koji se u zadatku traže.

Pa nađeš vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath].

Je li [inlmath]\left|\vec a\right|=\sqrt 3[/inlmath] i [inlmath]\left|\vec b\right|=\sqrt 6[/inlmath]? E kako sad naci sinus ugla izmedju [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath]?

I ako moze jedno pitanje koje nije u vezi ovog zadatka, npr ako imam jedinicne vektore i trebam naci vektorski proizvod kako odrediti sinus ugla izmedju tih jedinicnih vektora, to nikako ne znam odredjivanje uglova :/

A, u ovom drugom zadatku , ja dobijem da je [inlmath]AC=AO+OB+BC=-OA+OB+BC=-1+1+2=2[/inlmath].
Zatim za [inlmath]OM=OB+BM=2,[/inlmath]
[inlmath]ON=OM+MC+CN=4,[/inlmath]
[inlmath]MN=MC+CN=2,[/inlmath]
[inlmath]PM=PA+AC+CM=\frac{3}{2},[/inlmath]
[inlmath]NP=NA+AP=\frac{1}{2}.[/inlmath]

Pa sad ne znam da li je to ok, nisam pisala cijeli postupak, samo sam onda uvrstavala ono sto imam zadano, i tako sam dobila te rezultate.

HVALA PUNO

Intenzitet ova dva vektora si u prvom zadatku dobro odredila, ali ti to zapravo nije ni potrebno. Najlakši način da izračunaš vektorski proizvod kada su date koordinate vektora bi bio sledeći:
[dispmath]\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 1
\end{vmatrix}[/dispmath]
Ostaje ti samo da razviješ determinantu...

Što se tiče formule [inlmath]\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\sin\left(\angle\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)[/inlmath]- koju si, pretpostavljam, ovde htela upotrebiti- ona daje samo intenzitet vektora koji je vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec{a}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b}[/inlmath], ne i informaciju o pravcu i smeru tog vektora.

Ako bi ti se tražio intenzitet vektora [inlmath]\vec{a}\times\vec{b}[/inlmath] imalo bi smisla primeniti formulu, ali to i dalje ne bi bio najpraktičniji put.

Ugao [inlmath]\angle\left(\vec{a},\vec{b}\right)[/inlmath] se može odrediti putem skalarnog proizvoda:
[dispmath]\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos\left(\angle\left(\vec{a},\vec{b}\right)\right)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3[/dispmath]
Otuda sledi da je ugao između dva zadata vektora moguće odrediti ovako:
[dispmath]\cos\alpha=\frac{a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}[/dispmath]

Kod ovog prvog zadatka mi jedino nije jasno kako kad imam da je [inlmath]\left|\vec{OB}\right|=2[/inlmath], pa opet imam da je [inlmath]\vec{OB}[/inlmath] jedinicni vektor, zbog toga ne znam kako se ovo izrazava, ako moze samo da zavrsis ovaj primjer za vektor [inlmath]\vec{AC}[/inlmath],pa da mogu vidjeti kako da uradim ostale.

Misliš, kod drugog zadatka? Intenzitet vektora [inlmath]\vec{OB}[/inlmath] jeste [inlmath]2[/inlmath], ali ako je zadat [inlmath]\vec n[/inlmath] kao jedinični vektor stranice [inlmath]OB[/inlmath], tada će [inlmath]\vec n[/inlmath] imati isti pravac i smer kao i vektor [inlmath]\vec{OB}[/inlmath], samo mu intenzitet neće biti [inlmath]2[/inlmath], nego će biti [inlmath]1[/inlmath], tj. biće [inlmath]\vec n=\frac{\vec{OB}}{\left|\vec{OB}\right|}[/inlmath].
[dispmath]\vec{AC}=\vec{AO}+\vec{OB}+\vec{BC}=-\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{BC}=[/dispmath]
[inlmath]\vec{OA}=4\vec m[/inlmath] (jer treba da dobiješ da je dužina stranice [inlmath]OA[/inlmath] jednaka [inlmath]4[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec m[/inlmath] je jedinični vektor stranice [inlmath]OA[/inlmath].)
[inlmath]\vec{OB}=2\vec n[/inlmath] (jer je dužina stranice [inlmath]OB[/inlmath] jednaka [inlmath]2[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec n[/inlmath] je jedinični vektor stranice [inlmath]OB[/inlmath].)
[inlmath]\vec{BC}=2\vec m[/inlmath] (jer je dužina stranice [inlmath]BC[/inlmath] jednaka [inlmath]2[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec m[/inlmath] je jedinični vektor stranice [inlmath]OA[/inlmath], koja je paralelna stranici [inlmath]BC[/inlmath].)
[dispmath]=-4\vec m+2\vec n+2\vec m=2\vec n-2\vec m=2\left(\vec n-\vec m\right)[/dispmath]

Uradila sam ove zadatke zahvaljujuci Vama, hvala Vam. evo npr za vektor [inlmath]\vec{PM}[/inlmath] sam kao rezultat dobila [inlmath]2\vec j-\vec i[/inlmath] tj [inlmath]2\vec n-\vec m[/inlmath]..

Da, to je tačno rešenje za [inlmath]\vec{PM}[/inlmath].