MATEMANIJA

Neka su [inlmath]p,\:q,\:r,\:s[/inlmath] redom sredine stranica [inlmath]AB,\:BC,\:CD,\:DA[/inlmath] proizvoljnog cetvorougla [inlmath]abcd[/inlmath] i neka je [inlmath]\vec{AB}=\vec p,\:\vec{bc}=\vec q,\:\vec{cd}=\vec r[/inlmath]. Ako je [inlmath]m=PR\cap QS[/inlmath] izraziti vektor [inlmath]\vec{AM}[/inlmath] u zavisnosti od vektora [inlmath]p,\:q,\:r[/inlmath]

---

20. zadatak zbirke za FTN prijemni (EO, MEH...)

Opet si zaboravio da formule uokviriš Latex-tagovima. OK, to sam korigovao.

Međutim, notacija je vrlo zbunjujuća. Molim te, obrati pažnju na to da se tačke (pa samim tim i temena geometrijskih figura) uvek označavaju velikim slovom: tačka [inlmath]A[/inlmath], tačka [inlmath]B[/inlmath] itd. Sa stranicama geometrijskih likova, kao i sa vektorima, pravilo je sledeće: kad se označavaju jednim slovom, onda je to slovo malo, a kad se označavaju sa dva slova (tj. oznakama početne i krajnje tačke), tada su ta slova velika: stranica [inlmath]a[/inlmath], stranica [inlmath]b[/inlmath], stranica [inlmath]AB[/inlmath], stranica [inlmath]BC[/inlmath], vektor [inlmath]\vec p[/inlmath], vektor [inlmath]\vec{MN}[/inlmath] itd.

Da li ovaj zadatak treba, zapravo, ovako da glasi?
„Neka su [inlmath]P,\:Q,\:R,\:S[/inlmath] redom sredine stranica [inlmath]AB,\:BC,\:CD,\:DA[/inlmath] proizvoljnog cetvorougla [inlmath]ABCD[/inlmath] i neka je [inlmath]\vec{AB}=\vec p,\:\vec{BC}=\vec q,\:\vec{CD}=\vec r[/inlmath]. Ako je [inlmath]M=PR\cap QS[/inlmath] izraziti vektor [inlmath]\vec{AM}[/inlmath] u zavisnosti od vektora [inlmath]\vec p,\:\vec q,\:\vec r[/inlmath]“

I, nisi napisao šta te tačno muči oko ovog zadatka. Da li si u rešavanju stigao do nekog dela pa ne znaš kako dalje, ili si ga rešio pa želiš da proveriš rezultat, ili ne znaš kako da kreneš pa želiš da ti se dâ bilo kakva ideja za rešavanje... Molim te, uvek napiši neki svoj komentar uz zadatak koji pošalješ.

jeste, tako ide zadatak, pa da nemam nikakvu ideju, ne znam odakle bi poceo

izvinjavam se na notaciji, nisam obracao paznju

Treba da pokažeš da je tačka [inlmath]M[/inlmath] središte duži [inlmath]\overline{PR}[/inlmath]. Kad to pokažeš, dalje je lako, jer tada znaš da je [inlmath]\vec{PM}=\frac{1}{2}\vec{PR}[/inlmath], a vektor [inlmath]\vec{PR}[/inlmath] možeš sasvim lako izraziti preko vektora [inlmath]\vec p[/inlmath], [inlmath]\vec q[/inlmath] i [inlmath]\vec r[/inlmath]...

hvala, uspeo sam, dokazao sam da je [inlmath]M[/inlmath] sredina, i potom radio preko [inlmath]\vec{PM}=\frac{1}{2}\vec{PR}[/inlmath]

Da, i na kraju treba da dobiješ da je [inlmath]\vec{AM}=\frac{3}{4}\vec p+\frac{1}{2}\vec q+\frac{1}{4}\vec r[/inlmath].

Može li neko da objasni kako da se dokaže da je tačna [inlmath]M[/inlmath] središte stranice [inlmath]PR[/inlmath]?

Odredi se preko vektora, tako što se dokaže da je [inlmath]PQRS[/inlmath] paralelogram, a znamo da se kod paralelograma dijagonale međusobno polove.
[dispmath]\left.\begin{array}{c}
\displaystyle\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=\frac{1}{2}\left(\vec{OB}+\vec{OC}\right)-\frac{1}{2}\left(\vec{OA}+\vec{OB}\right)=\frac{1}{2}\left(\vec{OC}-\vec{OA}\right)\\
\displaystyle\vec{SR}=\vec{OR}-\vec{OS}=\cdots=\frac{1}{2}\left(\vec{OC}-\vec{OA}\right)
\end{array}\right\}\quad\Rightarrow\quad\vec{PQ}=\vec{SR}[/dispmath]
iz čega sledi da je [inlmath]PQRS[/inlmath] paralelogram.

Je li [inlmath]O[/inlmath] u stvari tačka [inlmath]M[/inlmath]?

Ne, [inlmath]O[/inlmath] je neka proizvoljna (referentna) tačka.

A kako znamo da je [inlmath]\vec{OQ}=\frac{1}{2}(\vec{OB}+\vec{OC})[/inlmath]?

Zbog toga što [inlmath]Q[/inlmath] predstavlja sredinu duži [inlmath]BC[/inlmath].


Pogledaj sliku. Ako bismo vektor [inlmath]\vec{OQ}[/inlmath] produžili za još jednu njegovu dužinu, dobili bismo, naravno, vektor [inlmath]2\vec{OQ}[/inlmath]. A sa slike vidimo da bi taj vektor bio jednak vektorskom zbiru [inlmath]\vec{OB}+\vec{OC}[/inlmath] (metoda paralelograma). Dakle, [inlmath]2\vec{OQ}=\vec{OB}+\vec{OC}[/inlmath], podelimo obe strane sa dva, i dobijemo [inlmath]\vec{OQ}=\frac{1}{2}\left(\vec{OB}+\vec{OC}\right)[/inlmath].