MATEMANIJA

Potrebna mala pomoc oko vektora
Neka je dat sistem jednacina po [inlmath]\vec x[/inlmath] sa [inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath] i [inlmath]\vec v\times\vec x=\vec u[/inlmath] gde su [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] linearno nezavisni vektori.Maksimalan broj resenja za najpovoljniji izbor vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] je:

Može pomoć, naravno, forum za to i služi – samo, ubuduće, ipak, preciziraj koja je vrsta pomoći u pitanju, tj. dokle si došao i gde je zapelo... Jer, na taj način, štediš nam vreme i trud. Pročitaj i Pravilnik (tačka 6)

Iz formalne definicije linearno nezavisnih vektora sledi da oba vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] moraju biti različita od nule. Jer, kada bi jedan od njih bio nula-vektor, npr. [inlmath]\vec v[/inlmath], tada bi bilo moguće napisati
[dispmath]a\vec u+b\vec v=0[/dispmath]
pri čemu bi skalar [inlmath]b[/inlmath] mogao biti i različit od nule, tj. trivijalno rešenje te jednačine (tj. [inlmath]a=b=0[/inlmath]) ne bi bilo i jedino rešenje. Prema tome, kada bi neki od ova dva vektora bio nula-vektor, oni bi međusobno bili linearno zavisni, što bi bilo u suprotnosti s uslovom zadatka.

Iz jednačina
[dispmath]\vec x\times\vec u=\vec v\\
\vec v\times\vec x=\vec u[/dispmath]
odmah vidimo da bi za [inlmath]\vec u=\vec v=0[/inlmath] sistem imao beskonačno mnogo rešenja po [inlmath]\vec x[/inlmath], ali, zbog prethodnog obrazloženja, vektori [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] ne smeju biti nula, pa taj slučaj odbacujemo. Takođe, ni [inlmath]\vec x[/inlmath] ne može biti nula vektor, jer, kada bi bio, iz prve jednačine bi se dobilo da je [inlmath]\vec v=0[/inlmath], a iz druge da je [inlmath]\vec u=0[/inlmath].

Pošto smo konstatovali da su sva tri vektora različita od nule, možemo zaključiti i sledeće: da bi jednačina [inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath] mogla imati rešenja, vektor [inlmath]\vec v[/inlmath] mora biti normalan na vektor [inlmath]\vec u[/inlmath]. Isto to se može zaključiti i iz jednačine [inlmath]\vec v\times\vec x=\vec u[/inlmath]. Kada je to zadovoljeno, tada, opet, iz jednačine [inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath] sledi da je vektor [inlmath]\vec x[/inlmath] normalan na vektor [inlmath]\vec v[/inlmath], a iz jednačine [inlmath]\vec v\times\vec x=\vec u[/inlmath] sledi da je vektor [inlmath]\vec x[/inlmath] normalan na vektor [inlmath]\vec u[/inlmath]. To znači da su, kada sistem ima rešenja, tada sva tri vektora, [inlmath]\vec x[/inlmath], [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath], međusobno pod pravim uglom. Što se smera tiče, iz jednačine [inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath] sledi da [inlmath]\vec x[/inlmath] ima smer kao i vektorski proizvod [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath], a iz jednačine [inlmath]\vec v\times\vec x=\vec u[/inlmath] takođe sledi da [inlmath]\vec x[/inlmath] ima smer kao i vektorski proizvod [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath]. Prema tome, jednačine su u saglasnosti što se tiče smerova.

Iz datog sistema jednačina sledi sistem jednačina intenziteta ovih vektora:
[dispmath]\left|\vec x\times\vec u\right|=\left|\vec v\right|\\
\left|\vec v\times\vec x\right|=\left|\vec u\right|[/dispmath][dispmath]\left|\vec x\right|\cdot\left|\vec u\right|\cdot\left|\sin\angle\left(\vec x,\vec u\right)\right|=\left|\vec v\right|\\
\left|\vec v\right|\cdot\left|\vec x\right|\cdot\left|\sin\angle\left(\vec v,\vec x\right)\right|=\left|\vec u\right|[/dispmath]
Pošto su svi vektori međusobno normalni, [inlmath]\left|\sin\angle\left(\vec x,\vec u\right)\right|=\left|\sin\angle\left(\vec v,\vec x\right)\right|=1[/inlmath]:
[dispmath]\left|\vec x\right|\cdot\left|\vec u\right|=\left|\vec v\right|\qquad/:\left|\vec u\right|\\
\left|\vec v\right|\cdot\left|\vec x\right|=\left|\vec u\right|\qquad/:\left|\vec v\right|[/dispmath][dispmath]\left|\vec x\right|=\frac{\left|\vec v\right|}{\left|\vec u\right|}\\
\left|\vec x\right|=\frac{\left|\vec u\right|}{\left|\vec v\right|}[/dispmath]
Ovaj sistem nema rešenja kada je [inlmath]\frac{\left|\vec v\right|}{\left|\vec u\right|}\ne\frac{\left|\vec u\right|}{\left|\vec v\right|}[/inlmath], tj. kada je [inlmath]\left|\vec u\right|\ne\left|\vec v\right|[/inlmath].
Za [inlmath]\left|\vec u\right|=\left|\vec v\right|[/inlmath] sistem ima jedinstveno rešenje, [inlmath]\left|\vec x\right|=1[/inlmath].

Prema tome, najpovoljniji izbor vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] je taj, da su oni međusobno normalni i jednakih intenziteta, i tada postoji jedinstveno rešenje za vektor [inlmath]\vec x[/inlmath], čiji je intenzitet tada [inlmath]1[/inlmath], pravac mu je normalan na pravce vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath], a smer mu je isti kao i smer vektorskog proizvoda [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath], koji se može odrediti pravilom desnog zavrtnja.
Za sve ostale izbore vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath], kada oni nisu međusobno normalni ili kada im intenziteti nisu jednaki – sistem nema rešenja po [inlmath]\vec x[/inlmath].

Hvala na opseznom odgovoru,ja sam pokusao da resim slican zadatak ([inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath] i [inlmath]\vec x\times\vec v=\vec u[/inlmath] ) tako sto sam iz uslova zakljucio da [inlmath]\vec x[/inlmath] normalan na vektore [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] kao i da je [inlmath]\vec x[/inlmath] istog smera kao vektorski proizvod od [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] a zatim sam resavajuci [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath] dosao do kontradikcije,ali nisam bas siguran koliko je ovo matematicki ispravno(da li uopste ima smisla),i jos me interesuje da li se moze pojaviti slucaj da je broj resenja veci od 1,jer sam se do sada susretao samo sa slucajevima gde postoji jedno ili nijedno resenje.

coa je napisao:tako sto sam iz uslova zakljucio da [inlmath]\vec x[/inlmath] normalan na vektore [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] kao i da je [inlmath]\vec x[/inlmath] istog smera kao vektorski proizvod od [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] a zatim sam resavajuci [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath] dosao do kontradikcije

Jeste, iz prve jednačine, [inlmath]\vec x\times\vec u=\vec v[/inlmath], sledi da [inlmath]\vec x[/inlmath] mora imati isti smer kao [inlmath]\vec u\times\vec v[/inlmath], a iz druge jednačine, [inlmath]\vec x\times\vec v=\vec u[/inlmath], sledi da [inlmath]\vec x[/inlmath] mora imati isti smer kao [inlmath]\vec v\times\vec u[/inlmath], tj. kao [inlmath]-\left(\vec u\times\vec v\right)[/inlmath], što kao jedino moguće rešenje ostavlja [inlmath]\vec x=0[/inlmath], ali, kad se to uvrsti u zadate jednačine, to bi značilo da [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath] moraju biti nula-vektori, a da li je to dozvoljeno, zavisi od toga da li su i u tom zadatku takođe postavljeni uslovi koji isključuju mogućnost nula-vektora.

coa je napisao:i jos me interesuje da li se moze pojaviti slucaj da je broj resenja veci od 1,jer sam se do sada susretao samo sa slucajevima gde postoji jedno ili nijedno resenje.

Pa eto, i u ovom i u prethodnom zadatku, da nije postavljen uslov linearne nezavisnosti vektora [inlmath]\vec u[/inlmath] i [inlmath]\vec v[/inlmath], broj rešenja po [inlmath]\vec x[/inlmath] bio bi beskonačan (tj. [inlmath]\vec x[/inlmath] bi bio neodređen) onda kada je [inlmath]\vec u=\vec v=0[/inlmath].