MATEMANIJA

[dispmath]\log_{2x}\left(x^2+1\right)[/dispmath]
a) odrediti definisanost funkcije
b) ako je funkcija [inlmath]<1[/inlmath]

ja sam odredio definisanost funkcije ali imam problem kad krenem da resavam samo da promenim znak. Dal treba buni me to [inlmath]2x[/inlmath]. Znak se menja ako [inlmath]0<x<[/inlmath]. sad ne znam kako to da dobijem


ne mogu dobro da namestim ali osnova je [inlmath]2x[/inlmath]

Grba je napisao:b) ako je funkcija [inlmath]<1[/inlmath]

Pa što ne dovrši rečenicu? Šta znači „ako je funkcija [inlmath]<1[/inlmath]“? Pretpostaviću da u produžetku treba da piše „odrediti [inlmath]x[/inlmath]“, ali da ne bismo morali da pretpostavljamo i da nagađamo, od korisnika se očekuje da pitanja koja postavljaju budu jasna i potpuna. Uostalom, to kaže i tačka 11. Pravilnika.

Nadam se da sam ispravno korigovao funkciju i da ona tako glasi, dakle, [inlmath]f\left(x\right)=\log_{2x}\left(x^2+1\right)[/inlmath]. Postaviš nejednačinu:
[dispmath]\log_{2x}\left(x^2+1\right)<1\\
\log_{2x}\left(x^2+1\right)<\log_{2x}2x[/dispmath]
I sad, pošto je logaritamska funkcija rastuća kada je osnova [inlmath]>1[/inlmath], a opadajuća kada je osnova [inlmath]<1[/inlmath], to znači da će se u prvom slučaju prilikom oslobađanja logaritma očuvati smer znaka nejednakosti, dok će se u drugom slučaju smer znaka nejednakosti promeniti. Dakle, radimo posebno jedan pa drugi slučaj:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]2x>1\quad\Rightarrow\quad\underline{x>\frac{1}{2}}[/inlmath]
[dispmath]x^2+1<2x\\
x^2-2x+1<0\\
\left(x-1\right)^2<0[/dispmath]
Nema rešenja.

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]2x<1\quad\Rightarrow\quad\underline{x<\frac{1}{2}}[/inlmath]
[dispmath]x^2+1>2x\\
x^2-2x+1>0\\
\left(x-1\right)^2>0\\
x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/dispmath]
što, u preseku s uslovom ovog slučaja [inlmath]x<\frac{1}{2}[/inlmath] i s uslovom definisanosti funkcije [inlmath]x\in\left(0,+\infty\right)\setminus\left\{\frac{1}{2}\right\}[/inlmath] daje [inlmath]x\in\left(0,\frac{1}{2}\right)[/inlmath].

Ja se izvinjavam zato sto sam zurio i nerazumno napisao zadatak.
ovo znaci da ja moram da radim oba slucaja i onda da vidim na cemu sam?
i pitanje zasto si u drugom slucaju iskljucio keca?

ukapirao sam zasto si iskljucio keca

Da, moraš oba slučaja, nema drugog načina.

Dakle, skontao si zbog čega se dobija [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/inlmath] – za kvadrat bilo kog realnog broja uvek važi da je [inlmath]\ge 0[/inlmath], pri čemu jednakost važi za slučaj kada je sâm taj broj koji se kvadrira jednak nuli. Isto to važi i za izraz [inlmath]\left(x-1\right)^2[/inlmath] – uvek će biti [inlmath]\ge 0[/inlmath], pri čemu jednakost važi za slučaj kada je [inlmath]x-1=0[/inlmath]. E, pošto se ovde traži da bude zadovoljena stroga nejednakost, bez onog znaka jednakosti, to znači da moramo isključiti slučaj kada je [inlmath]x-1=0[/inlmath], tj. kada je [inlmath]x=1[/inlmath].

Formalan postupak „isključivanja keca“ glasio bi ovako:
[dispmath]\left(x-1\right)^2>0[/dispmath]
Korenujemo obe strane:
[dispmath]\sqrt{\left(x-1\right)^2}>\sqrt 0[/dispmath]
Pošto je [inlmath]\sqrt{x^2}\:\overset{\mbox{def}}{=\!=}\:\left|x\right|[/inlmath], pišemo:
[dispmath]\left|x-1\right|>0[/dispmath]
a pošto je [inlmath]\left|x\right|\:\overset{\mbox{def}}{=\!=}\:\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}[/inlmath], granamo na dva slučaja:

[inlmath]I[/inlmath] slučaj: [inlmath]x-1\ge 0\quad\Rightarrow\quad\left|x-1\right|=x-1\quad\Rightarrow\quad x-1>0\quad\Rightarrow\quad\underline{x>1}[/inlmath]

[inlmath]II[/inlmath] slučaj: [inlmath]x-1<0\quad\Rightarrow\quad\left|x-1\right|=1-x\quad\Rightarrow\quad 1-x>0\quad\Rightarrow\quad\underline{x<1}[/inlmath]

Unija rešenja ova dva slučaja je [inlmath]x\in\left(-\infty,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)[/inlmath], a to je isto što i [inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/inlmath].