MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\frac{x}{2}+\arcsin\left(\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\right)-\frac{3}{2}[/dispmath]
Funkcija je malo složenija.

Prvo, može li netko napisati upute za domenu?

Evo kako bih ja to: [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath] se mogu zanemariti, razmatrao bih samo ovo što je pod arkusom, i to tako da sve u zagradi mora biti veće ili jednako od [inlmath]-1[/inlmath], a manje ili jednako od [inlmath]1[/inlmath]. Kad bih rješio te uvjete, rješenje bi bio njihov presjek?

Da, njihov presek, jer se traži da taj izraz bude veći od [inlmath]-1[/inlmath] i manji od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, konjunkcija, a njoj odgovara traženje preseka.
I, takođe, presek s uslovom da je izraz u meniocu različit od nule, tj. [inlmath]x^2-6x+10\ne 0[/inlmath].

Ako sam dobio, među ostalim, [inlmath]3+i[/inlmath], kako da to uvrstim u onu tabelu? Ili bih morao raditi na neki drugi način?

To što se za nule polinoma u imeniocu dobiju kompleksne vrednosti, samo nam govori da u realnom domenu taj polinom nema nule, što nam olakšava postupak – ne moramo ga razmatrati, uvek je različiti od nule.

Odlično. Znači li to da bi u ovom slučaju u domeni bili svi realni brojevi?

Ne. Čim je diskriminatna negativna znači da je za realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] izraz u imeniocu pozitivan. I to je dobro, manje računa, preostaje ti samo ispitivanje znaka brojioca.
Uslov o različitosti imenioca od nule je takođe zadovoljen iz pomenutog razloga.

Tj. ne sledi to odatle, inače u ovom primeru su svi realni brojevi deo domena.

Ok. Zatim, nultočke. Njih nema u ovom slučaju?

Ne znam kako da ih dobijem iz ovog kupusa

Nažalost, kad u istom izrazu imamo promenljivu [inlmath]x[/inlmath] i neku od trigonometrijskih (ili inverznih trigonometrijskih, kao u ovom slučaju) funkcija, nule je nemoguće odrediti analitičkim putem, već samo numerički. Isto važi i ako u istom izrazu imamo [inlmath]x[/inlmath] i eksponencijalnu, odnosno logaritamsku funkciju.
Znači, ne preostaje nam ništa drugo nego napipavanjem.
U ovom izrazu vrednost funkcije će očigledno biti nula kada je [inlmath]x=3[/inlmath], jer se tada krate [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath], a za [inlmath]x=3[/inlmath] će i argument arkus sinusa biti nula, pa će i arkus sinus imati vrednost nula...

Možeš li malo bolje pojasniti kako si dobio tu nultočku?

Za točke ekstrema sam dobio [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]. Da li je to možda točno?