MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\frac{x}{2}+\arcsin\left(\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\right)-\frac{3}{2}[/dispmath]
Funkcija je malo složenija.

Prvo, može li netko napisati upute za domenu?

Evo kako bih ja to: [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath] se mogu zanemariti, razmatrao bih samo ovo što je pod arkusom, i to tako da sve u zagradi mora biti veće ili jednako od [inlmath]-1[/inlmath], a manje ili jednako od [inlmath]1[/inlmath]. Kad bih rješio te uvjete, rješenje bi bio njihov presjek?

Da, njihov presek, jer se traži da taj izraz bude veći od [inlmath]-1[/inlmath] i manji od [inlmath]1[/inlmath]. Znači, konjunkcija, a njoj odgovara traženje preseka.
I, takođe, presek s uslovom da je izraz u meniocu različit od nule, tj. [inlmath]x^2-6x+10\ne 0[/inlmath].

Ako sam dobio, među ostalim, [inlmath]3+i[/inlmath], kako da to uvrstim u onu tabelu? Ili bih morao raditi na neki drugi način?

To što se za nule polinoma u imeniocu dobiju kompleksne vrednosti, samo nam govori da u realnom domenu taj polinom nema nule, što nam olakšava postupak – ne moramo ga razmatrati, uvek je različiti od nule.

Odlično. Znači li to da bi u ovom slučaju u domeni bili svi realni brojevi?

Ne. Čim je diskriminatna negativna znači da je za realne vrednosti [inlmath]x[/inlmath] izraz u imeniocu pozitivan. I to je dobro, manje računa, preostaje ti samo ispitivanje znaka brojioca.
Uslov o različitosti imenioca od nule je takođe zadovoljen iz pomenutog razloga.

Tj. ne sledi to odatle, inače u ovom primeru su svi realni brojevi deo domena.

Ok. Zatim, nultočke. Njih nema u ovom slučaju?

Ne znam kako da ih dobijem iz ovog kupusa

Nažalost, kad u istom izrazu imamo promenljivu [inlmath]x[/inlmath] i neku od trigonometrijskih (ili inverznih trigonometrijskih, kao u ovom slučaju) funkcija, nule je nemoguće odrediti analitičkim putem, već samo numerički. Isto važi i ako u istom izrazu imamo [inlmath]x[/inlmath] i eksponencijalnu, odnosno logaritamsku funkciju.
Znači, ne preostaje nam ništa drugo nego napipavanjem.
U ovom izrazu vrednost funkcije će očigledno biti nula kada je [inlmath]x=3[/inlmath], jer se tada krate [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] i [inlmath]-\frac{3}{2}[/inlmath], a za [inlmath]x=3[/inlmath] će i argument arkus sinusa biti nula, pa će i arkus sinus imati vrednost nula...

Možeš li malo bolje pojasniti kako si dobio tu nultočku?

Za točke ekstrema sam dobio [inlmath]4[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]. Da li je to možda točno?

Nagađanjem.

Jednostavno zameniš broj [inlmath]3[/inlmath] u jednačinu i proveriš da li je zadovoljava.
Ispostavi se da da.
Ovo [inlmath]\frac{x}{2}[/inlmath] i [inlmath]\frac{3}{2}[/inlmath] se [inlmath]x=3[/inlmath] poništavaju... A argument [inlmath]\arcsin[/inlmath] je tako namešten da je on nula za [inlmath]x=3[/inlmath] (u imeniocu je izraz uvek veći od nule, a brojila [inlmath]2x-6[/inlmath] je jednak nuli za [inlmath]x=3[/inlmath]). A kako je [inlmath]\arcsin 0=0[/inlmath] sledi da je [inlmath]x=3[/inlmath] rešenje jednačine.

Ok Vertikalnih i horizontalnih asimptota nema, a očito ni kosih. Točno?

Kasnim za tobom uvek za po jedno pitanje.

Ekstremi ti nisu dobri, treba [inlmath]3\pm\sqrt 3[/inlmath]. Šta si dobio za prvi izvod?

eseper je napisao:Ok Vertikalnih i horizontalnih asimptota nema, a očito ni kosih. Točno?

Vertikalne nema (jer nema ni prekidne tačke), a kose ima. I vrlo se lako odrede, za razliku od prvog izvoda.

Za prvu derivaciju sam dobio sljedće.
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2x^2+12x-16}{\left(x^2-6x+10\right)^2}}{\sqrt{1-\left[\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\right]^2}}[/dispmath]

To ti je OK, samo ima to još da se sređuje i sređuje... Kako si ti iz ovoga uspeo naći ekstreme?

A eto, mislio sam da je to kraj, ali očito nije. Znači treba se sve srediti, riješiti korjena ili što?

Da... Sve ovo kvadrirati, izmnožiti, razviti... Na kraju koren nestane sam od sebe i ispadne prilično jednostavan izraz... Jedino što ga malko komplikuje je signum funkcija koja će se tu stvoriti...

I, da se korigujem, sad sam pogledao tačnu definiciju ekstrema i, po toj definiciji, tačke [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], koje si ti dobio, zaista spadaju u ekstreme (iako u njima prvi izvod nije jednak nuli). Ali, ima još dva ekstrema, ona dva koja sam ti napisao.

Čekaj, ali ako su i [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath] ekstremi, to znači da će se u sređenjoj funkciji isto pojaviti izraz iz kojeg emo moći dobiti te točke, uz one dvije što si ti već napisao?

Paaaaa... I ne baš. U tim tačkama, kao što napisah, prvi izvod nije nula, iako one jesu ekstremi.
Videćeš već kad budeš sredio izraz, hoću malo da te držim u neizvesnosti.

Da, samo šteta što ne mogu dobiti ni izraz iz kojeg ću izvaditi te točke, koliko je komplicirano

OK, ovako bi to išlo... Dobio si, znači, sledeći izraz:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2x^2+12x-16}{\left(x^2-6x+10\right)^2}}{\sqrt{1-\left(\frac{2x-6}{x^2-6x+10}\right)^2}}[/dispmath]
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2x^2+12x-16}{\left(x^2-6x+10\right)^2}}{\sqrt{\frac{\left(x^2-6x+10\right)^2-\left(2x-6\right)^2}{\left(x^2-6x+10\right)^2}}}[/dispmath]
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\frac{-2x^2+12x-16}{\left(x^2-6x+10\right)^2}}{\frac{1}{\left|x^2-6x+10\right|}\sqrt{\left(x^2-6x+10\right)^2-\left(2x-6\right)^2}}[/dispmath]
Pošto je izraz [inlmath]\left(x^2-6x+10\right)[/inlmath] uvek veći od nule (to smo ranije konstatovali, možemo se osloboditi apsolutne vrednosti, pri čemu dolazi do skraćivanja kvadrata gore i tog izraza dole:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}+\frac{\left(-2\right)\left(x^2-6x+8\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\sqrt{\left(x^4+36x^2+100-12x^3-120x+20x^2\right)-\left(4x^2-24x+36\right)}}[/dispmath]
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\left(x^2-6x+8\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\sqrt{x^4-12x^3+52x^2-96x+64}}[/dispmath]
Polinom [inlmath]x^2-6x+8[/inlmath] ima dve realne nule, [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]4[/inlmath], pa ga možemo pisati kao [inlmath]\left(x-2\right)\left(x-4\right)[/inlmath]:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\sqrt{x^4-12x^3+52x^2-96x+64}}[/dispmath]
I sad proveravamo nasumice da li polinom [inlmath]4.[/inlmath] stepena koji se nalazi ispod korena možda ima faktore takve da može da se nešto krati s izrazom u brojiocu. Da bi moglo da se krati, pošto je on pod korenom, potrebno je da ima faktor [inlmath]\left(x-2\right)^2[/inlmath] ili [inlmath]\left(x-4\right)^2[/inlmath]. Proverićemo prvo njegovu deljivost sa [inlmath]\left(x-2\right)^2[/inlmath], tj. sa [inlmath]\left(x^2-4x+4\right)[/inlmath]:

[inlmath]x^4-12x^3+52x^2-96x+64\: :\:x^2-4x+4=x^2-8x+16\\
\underline{x^4-4x^3+4x^2}\\
\phantom{x^4}-8x^3+48x^2-96x+64\\
\phantom{x^4}\underline{-8x^3+32x^2-32x}\\
\phantom{x^4-8x^3+}16x^2-64x+64\\
\phantom{x^4-8x^3+}\underline{16x^2-64x+64}\\
\phantom{x^4-8x^3+16x^2-64x+}0[/inlmath]

Kao što vidimo, ostatak je [inlmath]0[/inlmath], što znači da je polinom pod korenom deljiv sa [inlmath]\left(x^2-4x+4\right)[/inlmath], tj. sa [inlmath]\left(x-2\right)^2[/inlmath]. Rezultat ovog deljenja je polinom [inlmath]\left(x^2-8x+16\right)[/inlmath], što predstavlja kvadrat binoma [inlmath]\left(x-4\right)^2[/inlmath]. To znači da je polinom pod korenom jednak [inlmath]\left(x-2\right)^2\left(x-4\right)^2[/inlmath]:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\sqrt{\left(x-2\right)^2\left(x-4\right)^2}}[/dispmath]
Savršeno.
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\left|x-2\right|\cdot\left|x-4\right|}[/dispmath]
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\left(x-2\right)\left(x-4\right)}{\left(x^2-6x+10\right)\left(x-2\right)\mathrm{sgn}\left(x-2\right)\cdot\left(x-4\right)\mathrm{sgn}\left(x-4\right)}[/dispmath]
Sada možemo kratiti [inlmath]\left(x-2\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(x-4\right)[/inlmath] u brojiocu i imeniocu, ali pri tom moramo naglasiti da za [inlmath]x=2[/inlmath] i za [inlmath]x=4[/inlmath] funkcija nije diferencijabilna, tj. u tim tačkama izvod nije definisan, jer bi predstavljao izraz u kome se nula deli nulom.
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{\left(x^2-6x+10\right)\mathrm{sgn}\left(x-2\right)\cdot\mathrm{sgn}\left(x-4\right)}[/dispmath]
Pošto za [inlmath]t\ne 0[/inlmath] signum funkcija može imati samo dve vrednosti, [inlmath]-1[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], znači da je [inlmath]\frac{1}{\mathrm{sgn}\left(t\right)}=\mathrm{sgn}\left(t\right)[/inlmath], pa može da pređe u brojilac:
[dispmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{1}{2}-\frac{2\mathrm{sgn}\left(x-2\right)\mathrm{sgn}\left(x-4\right)}{x^2-6x+10}[/dispmath]
Iz ovog postupka ne možemo direktno zaključiti da li tačke [inlmath]x=2[/inlmath] i [inlmath]x=4[/inlmath] predstavljaju ekstreme ili ne. To možemo saznati ispitujući ostale osobine funkcije levo i desno od ovih tačaka. Iz ovog postupka možemo samo zaključiti to, da u navedenim tačkama funkcija nije diferencijabilna, a to, grafički gledano, znači da u navedenim tačkama funkcija nije glatka, već ima „šiljke“. To je i logično, budući da je kroz „šiljak“ nemoguće jednoznačno odrediti tangentu, tako da ni izvod, koji predstavlja nagib tangente u toj tački, nije definisan.

Za dobijeni izraz je sad lako odrediti kada je on jednak nuli, tako što se zasebno ispituju slučajevi kada je koja signum funkcija jednaka [inlmath]-1[/inlmath], a kada [inlmath]1[/inlmath]...
To prepuštam tebi...

Hvala. Pokušat ću sam završiti ostatak