MATEMANIJA

Kako izračunati domenu funkcije na slici? Ovako na prvu bih rekao da su u domeni svi pozitivni realni brojevi, ali to nije točno. Zašto?

Druga stvar, ovo što je pod korijenom ne gledamo za računanje domene, istina?
[dispmath]f\left(x\right)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2 x-4}}[/dispmath]

Upravo zato što ti druga rečenica nije istinita, pogrešan ti je i domen koji spominješ u prvoj rečenici.

Naravno da moramo posmatrati to pod korenom, mora biti veće ili jednako od nule, si zaboravio?

Po sredini sljedeće stranice imamo funkciju u kojoj za oredđivanje domene, nismo trebali posmatrati ono što je ispod korjena.
Zbog čega ovdje trebamo? Je li razlog što nije "obična" funkcija, već [inlmath]e^\mathrm{nešto}[/inlmath] ?

viewtopic.php?f=37&t=32&start=50

Misliš li na deo funkcije [inlmath]\sqrt{\left|x-1\right|}[/inlmath]?

Sasvim je očigledno da je, bez obzira na vrednost [inlmath]x[/inlmath], potkorena veličina uvek pozitivna (ili nula) zbog apsolutne vrednosti.

Domena ove funkcije bi bila [inlmath]\left[e^2,+\infty\right>[/inlmath].
Nultočaka nema.
Nema ekstrema.

?

Ako je domena točna, onda nema vertikalnih asimptota. Kako naći horizontalnu u ovom slučaju?

domen je valjda [inlmath]\left(0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/inlmath].probacu posle za asimptote

Srinivasa je u pravu što se domena tiče.
Imaš dva uslova koja moraš razmotriti:
-potkorena veličina mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath]
-numerus logaritma mora biti pozitivan

Ovo prvo znači:
[dispmath]\ln^2 x-4\ge 0\\
(\ln x-2)(\ln x+2)\ge 0\\
x\in\left[0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/dispmath]
Drugi uslov nam daje dodatno ograničenje:
[dispmath]x>0[/dispmath]
Zato je domen:
[dispmath]x\in\left(0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/dispmath]

1. Kako u ovom zadatku dobiti horizontalnu asimptotu (a ona je [inlmath]y=e[/inlmath]) ? Ne ide mi za rukom
2. Lokalne ekstreme
-prva derivacija je
[dispmath]f'(x)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2x-4}}\frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{\ln^2x-4}-\ln x}{\sqrt{\ln^2x-4}}\right)[/dispmath]

E ček', prvo ovo:

eseper je napisao:Ako je domena točna, onda nema vertikalnih asimptota.

Ovo je bilo još zimus, ali nekako mi je bilo promaklo. Kako si zaključio da nema vertikalnih asimptota? Ima ih. Čim domen nije ceo skup realnih brojeva, asimptote se uvek mogu javiti u okolini granice oblasti u kojoj je funkcija definisana i oblasti u kojoj nije definisana.

eseper je napisao:1. Kako u ovom zadatku dobiti horizontalnu asimptotu (a ona je [inlmath]y=e[/inlmath]) ? Ne ide mi za rukom

[dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2 x-4}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{\ln x}\cdot e^1}{e^\sqrt{\ln^2 x-4}}=[/dispmath][dispmath]=e\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{\ln x\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{\ln^2 x}}}}}=e\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{\ln x}}=e\lim_{x\to +\infty}\frac{\cancel x}{\cancel x}=e[/dispmath]
Naravno, ne tražimo [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}f\left(x\right)[/inlmath], jer funkcija nije definisana za negativne [inlmath]x[/inlmath]-ove.

eseper je napisao:2. Lokalne ekstreme
-prva derivacija je
[dispmath]f'(x)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2x-4}}\frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{\ln^2x-4}-\ln x}{\sqrt{\ln^2x-4}}\right)[/dispmath]

E sad, kao što znaš, radi traženja lokalnih ekstrema izjednačimo prvi izvod s nulom. Pošto u ovoj „kobasici“ koju si dobio za prvi izvod faktor [inlmath]e^{lnx+1-\sqrt{ln^2x-4}}\frac{1}{x}[/inlmath] ne može biti jednak nuli, onda ovo što je u zagradi (i to samo ono što je u brojiocu) izjednačavamo s nulom:
[dispmath]\sqrt{\ln^2 x-4}-\ln x=0\\
\sqrt{\ln^2 x-4}=\ln x[/dispmath]
[inlmath]\ln x=t[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{t^2-4}=t[/dispmath]
Kvadriramo obe strane uz uslov [inlmath]t\ge 0[/inlmath]:
[dispmath]\cancel{t^2}-4=\cancel{t^2}\\
-4=0[/dispmath]
Jednačina nema rešenja [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija nema ekstremne vrednosti.

Identično sam dobio, dakle ekstrema nema. Međutim, pokušavam nacrtati graf i ne ide mi za rukom baš

Što se tiče domene, ta zimus je bila krvi određena pa sam na temelju nje to napisao, što naravno ne stoji