MATEMANIJA

Kako izračunati domenu funkcije na slici? Ovako na prvu bih rekao da su u domeni svi pozitivni realni brojevi, ali to nije točno. Zašto?

Druga stvar, ovo što je pod korijenom ne gledamo za računanje domene, istina?
[dispmath]f\left(x\right)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2 x-4}}[/dispmath]

Upravo zato što ti druga rečenica nije istinita, pogrešan ti je i domen koji spominješ u prvoj rečenici.

Naravno da moramo posmatrati to pod korenom, mora biti veće ili jednako od nule, si zaboravio?

Po sredini sljedeće stranice imamo funkciju u kojoj za oredđivanje domene, nismo trebali posmatrati ono što je ispod korjena.
Zbog čega ovdje trebamo? Je li razlog što nije "obična" funkcija, već [inlmath]e^\mathrm{nešto}[/inlmath] ?

viewtopic.php?f=37&t=32&start=50

Misliš li na deo funkcije [inlmath]\sqrt{\left|x-1\right|}[/inlmath]?

Sasvim je očigledno da je, bez obzira na vrednost [inlmath]x[/inlmath], potkorena veličina uvek pozitivna (ili nula) zbog apsolutne vrednosti.

Domena ove funkcije bi bila [inlmath]\left[e^2,+\infty\right>[/inlmath].
Nultočaka nema.
Nema ekstrema.

?

Ako je domena točna, onda nema vertikalnih asimptota. Kako naći horizontalnu u ovom slučaju?

domen je valjda [inlmath]\left(0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/inlmath].probacu posle za asimptote

Srinivasa je u pravu što se domena tiče.
Imaš dva uslova koja moraš razmotriti:
-potkorena veličina mora biti [inlmath]\ge 0[/inlmath]
-numerus logaritma mora biti pozitivan

Ovo prvo znači:
[dispmath]\ln^2 x-4\ge 0\\
(\ln x-2)(\ln x+2)\ge 0\\
x\in\left[0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/dispmath]
Drugi uslov nam daje dodatno ograničenje:
[dispmath]x>0[/dispmath]
Zato je domen:
[dispmath]x\in\left(0,e^{-2}\right]\cup\left[e^2,+\infty\right)[/dispmath]

1. Kako u ovom zadatku dobiti horizontalnu asimptotu (a ona je [inlmath]y=e[/inlmath]) ? Ne ide mi za rukom
2. Lokalne ekstreme
-prva derivacija je
[dispmath]f'(x)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2x-4}}\frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{\ln^2x-4}-\ln x}{\sqrt{\ln^2x-4}}\right)[/dispmath]

E ček', prvo ovo:

eseper je napisao:Ako je domena točna, onda nema vertikalnih asimptota.

Ovo je bilo još zimus, ali nekako mi je bilo promaklo. Kako si zaključio da nema vertikalnih asimptota? Ima ih. Čim domen nije ceo skup realnih brojeva, asimptote se uvek mogu javiti u okolini granice oblasti u kojoj je funkcija definisana i oblasti u kojoj nije definisana.

eseper je napisao:1. Kako u ovom zadatku dobiti horizontalnu asimptotu (a ona je [inlmath]y=e[/inlmath]) ? Ne ide mi za rukom

[dispmath]\lim_{x\to +\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to +\infty}e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2 x-4}}=\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{\ln x}\cdot e^1}{e^\sqrt{\ln^2 x-4}}=[/dispmath][dispmath]=e\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{\ln x\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{4}{\ln^2 x}}}}}=e\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^{\ln x}}=e\lim_{x\to +\infty}\frac{\cancel x}{\cancel x}=e[/dispmath]
Naravno, ne tražimo [inlmath]\lim\limits_{x\to -\infty}f\left(x\right)[/inlmath], jer funkcija nije definisana za negativne [inlmath]x[/inlmath]-ove.

eseper je napisao:2. Lokalne ekstreme
-prva derivacija je
[dispmath]f'(x)=e^{\ln x+1-\sqrt{\ln^2x-4}}\frac{1}{x}\left(\frac{\sqrt{\ln^2x-4}-\ln x}{\sqrt{\ln^2x-4}}\right)[/dispmath]

E sad, kao što znaš, radi traženja lokalnih ekstrema izjednačimo prvi izvod s nulom. Pošto u ovoj „kobasici“ koju si dobio za prvi izvod faktor [inlmath]e^{lnx+1-\sqrt{ln^2x-4}}\frac{1}{x}[/inlmath] ne može biti jednak nuli, onda ovo što je u zagradi (i to samo ono što je u brojiocu) izjednačavamo s nulom:
[dispmath]\sqrt{\ln^2 x-4}-\ln x=0\\
\sqrt{\ln^2 x-4}=\ln x[/dispmath]
[inlmath]\ln x=t[/inlmath]
[dispmath]\sqrt{t^2-4}=t[/dispmath]
Kvadriramo obe strane uz uslov [inlmath]t\ge 0[/inlmath]:
[dispmath]\cancel{t^2}-4=\cancel{t^2}\\
-4=0[/dispmath]
Jednačina nema rešenja [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija nema ekstremne vrednosti.

Identično sam dobio, dakle ekstrema nema. Međutim, pokušavam nacrtati graf i ne ide mi za rukom baš

Što se tiče domene, ta zimus je bila krvi određena pa sam na temelju nje to napisao, što naravno ne stoji

Sorry, moja greška... Ipak nema vertikalne asimptote, jer domen obuhvata i granične tačke [inlmath]e^{-2}[/inlmath] i [inlmath]e^2[/inlmath]... Ne znam zašto, ali bilo mi se učinilo od tih intervala da su otvoreni... Možda te ta moja konstatacija zbunila.

Treba još da odrediš [inlmath]\lim\limits_{x\to 0^+}f\left(x\right)[/inlmath] (za njega ćeš dobiti da je [inlmath]0[/inlmath]), zatim [inlmath]f\left(e^{-2}\right)[/inlmath] i [inlmath]f\left(e^2\right)[/inlmath] (za njih ćeš dobiti da su [inlmath]e^{-1}[/inlmath] i [inlmath]e^3[/inlmath], respektivno), a horizontalnu asimptotu, [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=e[/inlmath], već imaš...

Sve što si napisao sam identično dobio

Problem mi zadaju intervali monotonosti koji mi se ne pokalapaju s grafom. Logično bi bilo da funkcija u intervalu od [inlmath]\left[e^2,+\infty\right>[/inlmath] pada, međutim, ja uporno dobivam rast. Zbog čega? Na grafu sam nacrtao da "klizi" k horizontalnoj asimptoti jer je to jedino logično...

Ekstremi, intervali monotonosti i graf

Može li se zapravo reći da je [inlmath]T\left(e^2,e^3\right)[/inlmath] u biti maksimum funkcije, a [inlmath]T\left(e^{-2}, e^{-1}\right)[/inlmath] minimum, iako to nismo dobili prvom derivacijom? Ali po grafu mi se čini da bi se to ipak moglo zaključiti

Zapravo mi je cijeli ovaj zadatak nekako čudan

eseper je napisao:Logično bi bilo da funkcija u intervalu od [inlmath]\left[e^2,+\infty\right>[/inlmath] pada, međutim, ja uporno dobivam rast. Zbog čega?

Prvo, ne znam kako si ovim svojim postupkom dobio rast funkcije u tom intervalu, kada si dobio da ti prvi izvod nikad nije veći od nule (uslov [inlmath]-4>0[/inlmath] nikad nije ispunjen). Znači, manji je od nule, tj. funkcija mora opadati, zar ne?

Onu tabelu s desne strane, neposredno iznad grafika – uopšte ne razumem.

Inače greška ti je u koraku
[dispmath]\sqrt{\ln^2 x-4}>\ln x\quad /^2[/dispmath]
Ovo se ne sme tek tako kvadrirati, jer se kvadriranjem gubi informacija o znaku, već mora prvo da se diskutuje. Pošto je leva strana uvek veća (ili jednaka) od nule, ako je desna strana manja od nule, tj. [inlmath]\ln x<0[/inlmath], tada je nejednakost uvek zadovoljena, bez obzira kolika je ta negativna vrednost [inlmath]\ln x[/inlmath].
Znači, za [inlmath]\ln x<0[/inlmath], a to odgovara slučaju [inlmath]0<x<1[/inlmath], nejednakost je zadovoljena [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] pretpostavka da je prvi izvod pozitivan je tačna [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija je na tom intervalu rastuća.

Drugi slučaj je da je [inlmath]\ln x>0[/inlmath], što odgovara slučaju [inlmath]x>1[/inlmath]; tada vršimo kvadriranje, ne gubeći nikakve informacije o znaku. E tada dobijemo onu nejednakost [inlmath]-4>0[/inlmath] do koje si ti došao, a koja nam pokazuje da je početna pretpostavka o pozitivnosti izvoda na tom intervalu bila pogrešna [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] izvod na tom intervalu je negativan [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] funkcija na tom intervalu opada.

Granična vrednost [inlmath]x[/inlmath] za ova dva slučaja, [inlmath]x=1[/inlmath], ne pripada domenu ove funkcije, ali znamo da je [inlmath]e^{-1}<1[/inlmath], a [inlmath]e^2>1[/inlmath], pa zaključujemo da funkcija raste na intervalu [inlmath]\left\langle 0,e^{-1}\right\rangle[/inlmath], a opada na intervalu [inlmath]\left\langle e^2,+\infty\right\rangle[/inlmath].

eseper je napisao:Može li se zapravo reći da je [inlmath]T\left(e^2,e^3\right)[/inlmath] u biti maksimum funkcije, a [inlmath]T\left(e^{-2}, e^{-1}\right)[/inlmath] minimum, iako to nismo dobili prvom derivacijom? Ali po grafu mi se čini da bi se to ipak moglo zaključiti

[inlmath]T\left(e^2,e^3\right)[/inlmath] jeste maksimalna vrednost ove funkcije na celom njenom domenu, ali [inlmath]T\left(e^{-2},e^{-1}\right)[/inlmath] nije minimalna vrednost (što se čak i na grafiku vrlo jasno vidi). Minimalnu vrednost ova funkcija zapravo i nema, budući da svoje najmanje vrednosti ima u desnoj okolini nule (ali ne i u samoj nuli jer u njoj nije definisana), i tada ima vrednosti koje su takođe pozitivne i vrlo bliske nuli. Kažem da nema minimalnu vrednost, jer nulu nikada ne dostiže, a koliku god malu vrednost da joj izabereš u nekoj tački bliskoj nuli, uvek je moguće naći neku drugu tačku, još bližu nuli, u kojoj će funkcija imati još manju vrednost.

Hvala. Pazit ću na to ubuduće, pogotovo na

Daniel je napisao:Inače greška ti je u koraku
[dispmath]\sqrt{\ln^2 x-4}>\ln x\quad /^2[/dispmath]