MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Ispitati koveksnost i konkavnost funkcije
[dispmath]f(x)=e^{\large\frac{2x}{1-x^2}}[/dispmath]
Iz [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] nije moguće utvrditi prevojne tačke funkcije. Da li je moguće, na osnovu uslova o postojanju ekstremnih vrednosti u nekoj tački (postoji okolina tačke [inlmath]x_0[/inlmath] tako da za svako [inlmath]x[/inlmath] iz okoline važi [inlmath]f(x)\ge f(x_0)[/inlmath] (minimum) i [inlmath]f(x)\le f(x_0)[/inlmath] utvrditi prevojne tačke. Ja sam odatle pretpostavio da je [inlmath]P(0,1)[/inlmath] prevojna tačka.

Zanima me kako se utrđuju prevojne tačke funkcije u slučaju kada jednačina [inlmath]f''(x)=0[/inlmath] nema realna rešenja? Da li je to moguće utvrditi preko ekstrema?

Kako je
[dispmath]f''(x)=\frac{4\left(-x^5+x^4-2x^3+2x^2+3x+1\right)}{\left(1-x^2\right)^2}e^{\large\frac{2x}{1-x^2}}[/dispmath]
izjednačavanjem sa nulom jednačina nema relna rešenja. U rešenju koje imam kaže da je potrebno ispitati funkciju
[dispmath]f_2(x)=-x^5+x^4-2x^3+2x^2+3x+1[/dispmath]
i primenom neke od teorema srednje vrednosti naći prevojnu tačku.
Ne razumem kako je interval neprekidnosti ove ([inlmath]f_2(x)[/inlmath]) funkcije [inlmath][1,2][/inlmath]? Iz neprekidnosti se zaključuje da postoji tačka [inlmath]c\in(1,2)[/inlmath] tako da je [inlmath]f_2(x)=0[/inlmath]. Može pojašnjenje? Takođe, nije mi jasno odakle se zaključuje da je funkcija konveksna na [inlmath](-\infty,c),\;c\neq1,\;c\neq-1[/inlmath] a konkavna na [inlmath](c,+\infty)[/inlmath]. Tačka [inlmath]P\big(c,f(c)\big)[/inlmath] je prevojna tačka funkcije. Odakle?

Hvala.

Zamolio bih te najpre da nas udostojiš odgovora u tvojoj prethodnoj temi.
Pozdrav.

Ne valja ti drugi izvod.
Jednostavno mora dole, tj. u imeniocu biti četvrti stepen. Nisam ovo gore ni proveravao.
Molim te, nađi najpre prvi izvod, napiši ga, potom i drugi i ispiši postupak pa da vidimo gde se greši.
Funkcija se menja u smislu konkavnosti (konveksnosti) onda kada prelazi s jedne strane svoje tangente na drugu.
To znači da je dovoljan uslov za prevojnu tačku taj, da drugi izvod menja znak (sa plus na minus i obratno).
Nije neophodno da drugi izvod bude definisan u posmatranoj tački, nije neophodno ni da je jednak nuli.
Ponavljam: dovoljno je da drugi izvod menja znak.

Stigoh da proverim:
drugi izvod je ok, samo treba dole da bude na četvrti stepen, kao što rekoh:
[dispmath]f''(x)=\frac{4\left(-x^5+x^4-2x^3+2x^2+3x+1\right)}{\left(1-x^2\right)^{\color{red}4}}e^{\large\frac{2x}{1-x^2}}[/dispmath]

display_error je napisao:izjednačavanjem sa nulom jednačina nema relna rešenja.

Nije tako. Ima realno rešenje, nešto oko [inlmath]1.54[/inlmath]. Dobio sam ovo programski (Excel a i C#), što se naravno ne priznaje. Ne koristim u poslednje vreme Wolfram za proveru, razočarao me par puta . Tu je inače i prevojna tačka.
Ali ne možemo rešavati jednačinu petog stepena, kompjuter nije na raspolaganju .
E sada bi trebalo primeniti neku od teorema o srednjoj vrednosti. Koju?

@desideri
Ispostavlja se da se za nalaženje mogućih prevojnih tačaka ne mogu upotrebiti teoreme srednje vrednosti, jer u njima figurišu prvi izvodu. Za ispitivanje konveksnosti i konkavnosti može da se koristi teorema neprekidnosti funkcija.