MATEMANIJA

Potrebna mi je pomoć oko sledećeg zadatka:
Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije
[dispmath]f(x)=\frac{x+e^x}{x-e^x}[/dispmath]
Osobine koje ispitujem su: domen, parnost, nule, asimptote, ekstremi, prevojne tačke.

1. Domen
[inlmath]D=\mathbb{R}[/inlmath]

2. Parnost
[inlmath]f(x)[/inlmath] nije ni parna ni neparna.

3. Nule
Ima na grafiku, ali je ne mogu odrediti iz [inlmath]f(x)=0[/inlmath] (???)

4. Asimptote
4.1. Nema vertikalnih.
4.2. Horizontalne: [inlmath]y=-1[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath]
4.3. Nema kosih.

5. Ekstremi
[inlmath]L_{\mathrm{min}}(1,\;2.16)[/inlmath]

6. Prevojne tačke
Ne mogu da se odrede direktno iz jednačine [inlmath]f''(x)=0[/inlmath]
[dispmath]f''(x)=-\frac{(2x-4)e^{2x}+\left(2x^2-4x+4\right)e^x}{e^{3x}-3xe^{2x}+3x^2e^x-x^3}[/dispmath]
Možete li ovo detaljnije pokazati jer sa ovim imam problema i u mojoj prethodnoj temi o ispitivanju funkcije?

Hvala.

Našao sam nulu funkcije upotrebom Lambertove [inlmath]W[/inlmath] funkcije i Njutnove rekurzivne formule, [inlmath]A(-0.56,0)[/inlmath].

Uradio sam zadatak.

Bilo bi lepo od tebe ako bi pokazao, zbog ostalih korisnika, na koji način si našao nulu drugog izvoda.
Pretpostavljam, nekom od numeričkih metoda, budući da je u pitanju transendentna jednačina, koja se ne može rešiti analitički. Jedino se može uočiti da je jedno od rešenja [inlmath]x=0[/inlmath].

Inače, samo neke ispravkice i dopune,

display_error je napisao:4. Asimptote
4.1. Nema vertikalnih.
4.2. Horizontalne: [inlmath]y=-1[/inlmath] i [inlmath]y=1[/inlmath]

Preciznije bi bilo napisati [inlmath]\lim\limits_{x\to-\infty}f\left(x\right)=1[/inlmath] i [inlmath]\lim\limits_{x\to+\infty}f\left(x\right)=-1[/inlmath].

display_error je napisao:5. Ekstremi
[inlmath]L_{\mathrm{min}}(1,\;2.16)[/inlmath]

Treba [inlmath]L_{\mathrm{min}}(1,\;{\color{red}-}2.16)[/inlmath].

Sve ostalo je OK.

@Daniel

Zapravo, nije bilo teško odrediti prevojne tačke. Prva je za [inlmath]x=0[/inlmath] [inlmath]P_1(0,-1)[/inlmath], a druga [inlmath]P_2(2,-1.72)[/inlmath] može se odrediti formirajući tablicu prevojnih tačaka u intervalima
[dispmath](-\infty,0),(0,2),(2,+\infty)[/dispmath]
Kako se znak drugog izvoda alternativno menja, to je po definiciji za [inlmath]x=2[/inlmath] postoji prevojna tačka.
Presek sa [inlmath]x[/inlmath] osom (nula funkcije) nije bilo moguće odrediti analitički. Iz jednačine [inlmath]f(x)=0[/inlmath] je
[dispmath]\frac{x+e^x}{x-e^x}=0[/dispmath][dispmath]x+e^x=0[/dispmath][dispmath]x=-e^x[/dispmath][dispmath]\frac{x}{-e^x}=-xe^{-x}=1[/dispmath]
Odavde je
[dispmath]x=-W(1)[/dispmath]
gde je [inlmath]W(x)[/inlmath] Lambertova ili Omega funkcija.

Dakle, mi treba da rešimo jednačinu
[dispmath]-xe^{-x}=1[/dispmath]
Napišimo jednačinu u obliku
[dispmath]-xe^{-x}-1=0[/dispmath]
i stavimo
[dispmath]f(x)=-xe^{-x}-1[/dispmath]
Sada primenimo Njutnovu rekurzivnu relaciju
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}[/dispmath]
Uvrstimo našu funkciju i izvod u rekurzivnu relaciju:
[dispmath]x_{n+1}=x_n-\frac{-x_ne^{-x_n}}{(x_n-1)e^{-x_n}}[/dispmath]
Sada je potrebno uzeti neku početnu vrednost za [inlmath]x_0[/inlmath], ne proizvoljnu, već prema promeni znaka funkcije. Kako je [inlmath]f(0)<0[/inlmath] i [inlmath]f(-1)>0[/inlmath], za [inlmath]x_0[/inlmath] uzimamo neki proizvoljan broj u intervalu [inlmath](-1,0)[/inlmath], npr.
[dispmath]x_0=-0.5[/dispmath]
Sada se vratimo u ovu rekurzivnu formulu i računamo kolika nam god preciznost treba. Prva vrednost
[dispmath]x_1\cong-0.56[/dispmath]
Inače, ovo se može shvatiti kao identitet, jer je vrednost Lambertove funkcije za argument [inlmath]1[/inlmath] jednaka
[dispmath]W(1)\cong0.56[/dispmath]

Hvala na detaljnom postupku.

Samo, proveri tu vrednost [inlmath]P_2\left(2,\;-1.72\right)[/inlmath] za prevojnu tačku. Kada u izraz za drugi izvod uvrstiš [inlmath]x=2[/inlmath], ne dobija se da je brojilac jednak nuli.

Softverski sam dobio da je nula drugog izvoda, osim [inlmath]x=0[/inlmath], još i [inlmath]x\approx1,73[/inlmath]. To će, pored [inlmath]x=0[/inlmath], biti još jedna prevojna tačka.