MATEMANIJA

Imam nekih nejasnoća u ovom zadatku.
Treba ispitati funkciju [inlmath]\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\frac{x-1}{x+1}-\frac{1}{2}\text{arctg }x[/inlmath].

U domenu treba ispuniti samo jedan uslov, samo izraz uz [inlmath]\ln[/inlmath] treba biti veci od nule. Pa je domen [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Kod određivanja nula sam zapeo. Kad ovaj izraz izjednačim sa nulom, ne znam kako da dobijem [inlmath]x[/inlmath].
Nakon sredjivanja izraza dobio sam
[inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}=2\text{ arctg }x[/inlmath] ili
[inlmath]e^{2\text{ arctg }x}=\frac{x-1}{x+1}[/inlmath]
Ali ne znam kako da iz tog dobijem [inlmath]x[/inlmath]?

ss_123 je napisao:U domenu treba ispuniti samo jedan uslov, samo izraz uz [inlmath]\ln[/inlmath] treba biti veci od nule. Pa je domen [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath].

Zapravo, ima još jedan uslov, a to je da imenilac mora biti različit od nule – ali dobro, taj uslov si ionako na kraju obuhvatio u intervalu za domen.

ss_123 je napisao:[inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}=2\text{ arctg }x[/inlmath] ili
[inlmath]e^{2\text{ arctg }x}=\frac{x-1}{x+1}[/inlmath]
Ali ne znam kako da iz tog dobijem [inlmath]x[/inlmath]?

Analitičkim putem, nikako, jer je to transcendentna jednačina. Isti slučaj kao i kod prethodne funkcije za koju si pitao.

Nisam se snasao grafickom metodom. Dobijam neke decimalne vrijednosti koje je tesko unositi na grafik.
Pravio sam tabele i uzimao nekoliko vrijednosti za [inlmath]x[/inlmath] (koje pripadaju domenu) i racunao [inlmath]f(x)[/inlmath] i to sam mislio unijeti i dobiti oba grafika ali npr. za [inlmath]2\text{ arctg }3[/inlmath], dobijem [inlmath]143,130[/inlmath]. I kako da to unesem na grafik...

Pa nacrtaj ove dve funckije:
[dispmath]g(x)=\ln\frac{x-1}{x+1}\\
h(x)=2\text{ arctg }x[/dispmath] i videces da one nemaju presecnih tacaka, sto znaci da funckija [inlmath]f(x)[/inlmath] nema realnih nula. Nisu one nesto komplikovane mnogo za crtanje. Pogotovo ne ova druga.

Daniel je napisao:Analitičkim putem, nikako, jer je to transcendentna jednačina.

Moram da se doreknem, zahvaljujući ideji koju mi je Ilija sad dao. Tačno je da se ovakve jednačine ne mogu rešiti analitičkim putem, ali se analitičkim putem (bez crtanja grafika ili numeričkih metoda) može dokazati da ova konkretna jednačina nema rešenje.

S obzirom na domen funkcije [inlmath](-\infty,-1)\cup(1,+\infty)[/inlmath], možemo dokazivanje razdvojiti na dva slučaja – [inlmath]x<-1[/inlmath] i [inlmath]x>1[/inlmath].

[inlmath]x<-1:[/inlmath]
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}>1\quad\Longrightarrow\quad\ln\frac{x-1}{x+1}>0\\
\text{arctg }x<0\quad\Longrightarrow\quad2\text{ arctg }x<0[/dispmath] i, pošto su leva i desna strana jednačine suprotnog znaka za svako [inlmath]x[/inlmath] koje je manje od [inlmath]-1[/inlmath], znači da ne mogu biti jednake ni za jedno takvo [inlmath]x[/inlmath].

Slično i za slučaj [inlmath]x>1[/inlmath]...

A zar za slucaj [inlmath]x>1[/inlmath] nece biti isti znak sa obe strane...
[inlmath]\text{arctg }x>0[/inlmath] pa je i [inlmath]2\text{ arctg }x>0[/inlmath]
[inlmath]\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath] pa je i [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath]

Ako je [inlmath]\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath], ne mora značiti da je tada i [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}>0[/inlmath].
Štaviše, [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] svakako mora biti veće od nule da bi [inlmath]\ln\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] postojao.
Priseti se za koje vrednosti numerusa je vrednost logaritma negativna.

Daniel je napisao:[inlmath]x<-1:[/inlmath]
[dispmath]\frac{x-1}{x+1}>1[/dispmath]

A kako ovdje slijedi da je ovaj izraz bas veci od jedinice, a ne od nule?

Za [inlmath]x<-1[/inlmath], numerus ce biti veci od jedinice. A kada je on veci od jedinice, logaritam ce biti veci od nule (tj. bice pozitivan).
Isto tako, za [inlmath]x>1[/inlmath] numerus logaritma bice izmedju nule i jedinice, a kada je on u tom intervalu, logaritam ce biti manji od nule (negativan).

Ako je numerus jednak jedinici, logaritam je nula.

To ti je sustina. Naravno, numerus o kom pricamo je [inlmath]\displaystyle\frac{x-1}{x+1}[/inlmath], i uslov za definisanost logaritma je da on bude veci od nule.

Jasno mi je kada je logaritam definisan i da je [inlmath]\frac{x-1}{x+1}[/inlmath] numerus o kome pricamo, ali nije mi jasno kako zakljucujemo da je jedinica granica o kojoj se radi.
Kada bi ispitali znak, gledali bi kad je veci ili manji od nule.(mozda pitam glupo pitanje ali nikako da to skontam )