MATEMANIJA

Da li je moguce sa slike grafika polinomijalne funkcije odrediti o kojoj funkciji je rec, pri tome da se ne koriste izvodi ili neki slozeniji racun? Jasno da ako su date nule na grafiku npr [inlmath]1,2,3[/inlmath] funkcija ima oblik [inlmath]f(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)[/inlmath].

Meni se cini da vise funkcija moze imati isti grafik, ne mogu bas da nadjem primer. Jesam li u pravu ili mozda gresim?

Nije mi najjasnije tvoje pitanje.
Naime, ako dve funkcije u realnom domenu imaju isti grafik, onda su to iste funkcije.
Ako nemaju isti grafik, onda su to različite funkcije.

Na primer:
[dispmath]y=\sqrt{x^2}[/dispmath]
i:
[dispmath]y=x[/dispmath]
nisu iste funkcije, i nemaju isti grafik.

Ali, recimo, funkcija [inlmath]y=\sqrt[3]{x^3}[/inlmath] i funkcija [inlmath]y=x[/inlmath], to su zapravo dva načina zapisa jedne iste funkcije, i samim tim će imati i isti grafik.

Naravno da iz identičnosti grafika dve funkcije sledi i da su te dve funkcije međusobno identične, tj. da predstavljaju jednu istu funkciju.

Što se tiče polinomijalnih funkcija – ako je za funkciju koja je predstavljena svojim grafikom izričito u zadatku rečeno da je polinomijalna, onda nije nikakav problem odrediti kako glasi njen analitički izraz. Za nule si dobro pretpostavio. Ostalo je još odrediti koeficijent [inlmath]a[/inlmath], a to možemo učiniti tako što očitamo koordinate bilo koje tačke s grafika u kojoj funkcija nema vrednost nula, a zatim te koordinate uvrstimo u izraz [inlmath]y=a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)[/inlmath], pri čemu smo nule [inlmath]x_1,x_2,\ldots,x_n[/inlmath] već odredili.. Naravno, očitavanje i uvrštavanje najlakše je učiniti za tačku preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom, čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata nula (ali, u slučaju da smo takve „sreće“ da funkcija prolazi kroz koordinatni početak, tj. kroz tačku [inlmath](0,0)[/inlmath], onda ipak moramo uzeti neku drugu tačku za očitavanje koordinata).

Ali, ako nam nije dat podatak da je funkcija polinomijalna, tada ne postoji pouzdan način da se na osnovu njenog grafika pokaže da jeste polinomijalna (osim vizuelnog upoređivanja zadatog grafika s nekim softverski generisanim grafikom pretpostavljene polinomijalne funkcije).


@dusan91, dodao sam ti Latex-tagove u post. Molim te da ih ubuduće koristiš.

Zadatak: Data je grafik polinomijalne funkcije. Napisati njen analiticki oblik

Iz vaseg razmatranja konstatujem: grafik jedinstveno odredjuje funkciju do na algebarsku transformaciju?

- [inlmath]f(x)=x^3,\;g(x)=x^5[/inlmath] na prvi pogled deluju isto kad se skiciraju, da bih znao o kojoj je rec moram imati jos bar jednu tacku?

- Kako da znam da je neka nula sa grafika dvostruka? Cini mi se da to zavisi od broja lokalnih ekstremuma, al ne mogu bas da povezem.

Npr. [dispmath]f(x)=(x-2)^2(x+1)^2,\quad g(x)=(x-2)^2(x+1)^4[/dispmath] Kada bi skicirali grafike ovih funkcija, oni bi izgledali slicno, iste nule, isti presek sa [inlmath]Oy[/inlmath]. Da bih znao koja se trazi moram znati opet bar jos jednu tacku?

dusan91 je napisao:- [inlmath]f(x)=x^3,\;g(x)=x^5[/inlmath] na prvi pogled deluju isto kad se skiciraju, da bih znao o kojoj je rec moram imati jos bar jednu tacku?

Moraš imati još onoliko tačaka koliko ti je potrebno da bi dobio onoliko jednačina koliko imaš nepoznatih. Onda rešavaš sistem od [inlmath]n[/inlmath] jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih.

dusan91 je napisao:- Kako da znam da je neka nula sa grafika dvostruka? Cini mi se da to zavisi od broja lokalnih ekstremuma, al ne mogu bas da povezem.

Ako je nula za grafika dvostruka (ali ne i trostruka), tada će ta nula biti istovremeno i lokalni ekstrem, tj. u toj tački će grafik dodirivati [inlmath]x[/inlmath]-osu.

Najbolje će biti da okačiš neki konkretan primer, sa sve grafikom funkcije čiji se izraz traži, kao i tačnim i kompletnim tekstom zadatka. Pa da onda vidimo na tom konkretnom grafiku.

Ono što sam govorio u prethodnom postu odnosi se na uprošćen slučaj kada je pretpostavljeno da su nule jednostruke, kao i da su sve nule realne. Za slučaj kompleksnih nula, to bi se još dalje zakomplikovalo...

Hvala Daniele na odgovorima

Posto je bila u pitanju polinomijalna funkcija, koja ima tri preseka sa [inlmath]x[/inlmath]-osom, a sece [inlmath]y[/inlmath]-osu u datoj tacki, zadatak se radi prema objasnjenju koje si dao.

Mislio sam da postoji neko uopsteno pravilo za polinomijalne funkcije i njihovo odredjivanje pomocu grafika, ali zakljucak je da nema