MATEMANIJA

Nasao sam ovaj zadatak i dok sam pokusavao da ga uradim svaki put stanem kod jednog dela.

Ide ovako:
[dispmath]y=x\ln^2x[/dispmath] Nasao sam prvi izvod i on izgleda ovako [inlmath]y′=\ln x(\ln x+2x)[/inlmath]
Kada to izjednacim sa nulom dobijem da je ili [inlmath]\ln x=0[/inlmath] ili [inlmath]\ln x(\ln x+2x)=0[/inlmath] tj. [inlmath]x=e^{-2x}[/inlmath]
Kada stignem do toga ne mogu dalje jer kad ubacim to u tabelu ne znam kad je funkcija pozitivna,a kad negativna tako da ne mogu da odredim ekstreme.
Je l moze pomoc?

Mislim da ti izvod nije dobar, trebalo bi biti:
[dispmath]y'=\ln x(\ln x+2)[/dispmath]

Je l bi mogla da napises kako to dobijes posto ja uvek dobijem [inlmath]2x[/inlmath]?

Prvo da nađemo izvod funkcije [inlmath]f(x)=\ln^2x[/inlmath]
Ako označimo [inlmath]h(x)=\ln x[/inlmath] i [inlmath]g(x)=x^2[/inlmath]
[dispmath]f'(x)=g'\bigl(h(x)\bigr)\cdot h'(x)[/dispmath] Tada je [inlmath]f'(x)=2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\frac{2\ln x}{x}[/inlmath]

Sada računamo izvod [inlmath]y=x\cdot\ln^2x[/inlmath] po pravilu proizvoda, i dobijamo:
[dispmath]y'=\ln x(\ln x+2)[/dispmath]

A zasto ne moze da se radi preko izvoda proizvoda? Posto ne razumem bas zasto si tako radila

Zato što je naša funkcija [inlmath]f(x)[/inlmath] kompozicija dvije funkcije, kvadratne i logaritamske, tako da ne možemo odmah iskoristiti pravilo proizvoda.
Tako da prvo moramo naći izvod kompozicije.

A zasto se uzima [inlmath]\ln x[/inlmath] i [inlmath]x^2[/inlmath] kad toga nema u pocetnoj formuli?

Uzela je tako zato sto je uvela smenu:
[inlmath]y=\ln^2x\\
t=\ln x\\
y=t^2[/inlmath]
Funkcija [inlmath]y=\ln^2x[/inlmath] je slozena. Zbog toga je njen izvod jednak proizvodu izvoda funkcije i izvoda smene:
[dispmath]\left(\ln^2x\right)'=\left(t^2\right)'\cdot(\ln x)'=2t\cdot\frac{1}{x}=2\ln x\cdot\frac{1}{x}[/dispmath]

Evo ja sam sad malo drugacije radio i dobio isti rezultat.
Je l moze ovako da se radi?
[dispmath]y′=\ln^2x+x2\ln x1/x[/dispmath] a ubacujem [inlmath]1/x[/inlmath] zato sto je funkcija slozena
i kada se skrate iksovi dobijem [inlmath]y′=\ln^2x+2\ln x[/inlmath]
Ali i tada imam problem. Kada izjednacim sa nulom, dobijem tacke i sve to ubacim u tabelu nisam bas siguran gde da stavim da je funkcija pozitivna, a gde negativna.
[dispmath]\ln x(\ln x+2)=0[/dispmath] [inlmath]\ln x=0[/inlmath] i [inlmath]\ln x+2=0[/inlmath]
znaci [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=e^{-2}[/inlmath]
Kako dalje da uradim?(ako je ovo dobro)

Sad treba da resis kao nejednacinu. Za pocetak uvedemo smenu: [inlmath]m=\ln x[/inlmath] pri cemu dobijamo:
[dispmath]0=y′=t^2+2t[/dispmath]
Pazi, na ovom grafiku se vidi kako se menja znak funkcije u zavisnosti od [inlmath]t[/inlmath], a nama treba kako se menja u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath]. Sad nadjemo [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] ovako:
[dispmath]t_1=0=\ln x_1\\
t_2=-2=\ln x_2[/dispmath]