MATEMANIJA

Pozdrav! Matematika i ja nemamo veze jedna sa drugom, na zalost... I nakon pregledanih primera nista ne razumem , ako ikako moze uradjen zadatak... Zahvalna u napred.
[dispmath]y=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath]

Dobro nam došla, samo se ti druži s nama pa ćete ti i matematika postati dve najbolje prijateljice.

Funkciju
[dispmath]y=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath]
možemo napisati u preglednijem obliku ako faktorizujemo polinom u brojiocu:
[dispmath]x^2-3x-4=\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)[/dispmath]
gde su [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] nule tog kvadratnog polinoma, koje određujemo po formuli:
[dispmath]x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/dispmath]
tj. u našem slučaju
[dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{2}[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=\frac{3\pm 5}{2}[/dispmath][dispmath]x_1=-1,\quad x_2=4[/dispmath]
Tako da se funkcija koju posmatramo svodi na oblik
[dispmath]y=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}[/dispmath]
E sad, krećemo na ispitivanje ove funkcije.
Ja sad zaista ne znam šta vaš(a) profesor(ka) zahteva da obuhvatite pri ispitivanju funkcije, jer maltene svako od njih ima neki svoj skup stavki. Ja sam ovde obuhvatio one stavke koje su neophodne da bi se dobio grafik, a ako je potrebno analizirati još neke stvari (znak funkcije, ekstremne vrednosti, tok funkcije, konveksnot/konkavnost, prevojne tačke...) javi, pa ćemo to naknadno uraditi.

[inlmath]1^\circ[/inlmath] Prvo ide oblast definisanosti, tj. domen.
Jedini kriterijum da bi ova funkcija bila definisana je taj, da izraz u imeniocu bude različit od nule, tj.
[inlmath]x-1\ne 0\\
x\ne 1[/inlmath]
tj.
[inlmath]x\in\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}[/inlmath]

[inlmath]2^\circ[/inlmath] Nule ove funkcije će biti one vrednosti [inlmath]x[/inlmath] za koje je izraz u brojiocu [inlmath]\left(x+1\right)\left(x-4\right)[/inlmath] jednak nuli, a to su ništa drugo nego nule tog polinoma, koje smo već odredili. Dakle,
[inlmath]x_1=-1\\
x_2=4[/inlmath]

[inlmath]3^\circ[/inlmath] Presek s y-osom dobijamo tako što u funkciju umesto promenljive [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo [inlmath]0[/inlmath]:
[dispmath]\frac{\left(0+1\right)\left(0-4\right)}{0-1}=\frac{1\cdot\left(-4\right)}{-1}=4[/dispmath]
[inlmath]3^\circ[/inlmath] Asimptote

Prvo određujemo vertikalne asimptote u prekidnim tačkama. Kod ove funkcije, kako smo već konstatovali, imamo jednu prekidnu tačku, [inlmath]x=1[/inlmath].

Leva vertikalna asimptota:
[dispmath]\lim_{x\to 1^-}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{\left(1+1\right)\left(1-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{-4}{x-1}=+\infty[/dispmath]
Znak plus smo dobili jer kad [inlmath]x[/inlmath] teži jedinici s leve strane, ono je manje od [inlmath]1[/inlmath], pa će [inlmath]x-1[/inlmath] biti manje od nule, tj. negativno. Kako u brojiocu i imeniocu imamo izraze manje od nule, to njihov količnik mora biti pozitivan.

Desna vertikalna asimptota:
[dispmath]\lim_{x\to 1^+}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\left(1+1\right)\left(1-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{-4}{x-1}=-\infty[/dispmath]
Po istom rezonu kao u prethodnom slučaju, ovde sad imamo deljenje negativne veličine pozitivnom veličinom, pa količnik mora biti negativan.

Zatim horizontalne asimptote.

Leva horizontalna asimptota:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(x-4\right)}{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to -\infty}\left(x-4\right)=-\infty[/dispmath]
Desna horizontalna asimptota:
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(x-4\right)}{1-\frac{1}{x}}=\lim_{x\to +\infty}\left(x-4\right)=+\infty[/dispmath]
Pošto horizontalne asimptote ne postoje, određujemo kose.

Leva kosa asimptota:
[dispmath]y=kx+n[/dispmath][dispmath]k\mathop=^{\mathrm{def}}\lim_{x\to -\infty}\frac{f\left(x\right)}{x}[/dispmath][dispmath]k=\lim_{x\to -\infty}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x\left(x-1\right)}=\lim_{x\to -\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1-\frac{4}{x}\right)}{1\cdot\left(1-\frac{1}{x}\right)}=\frac{1\cdot 1}{1\cdot 1}=1[/dispmath][dispmath]n\mathop=^{\mathrm{def}}\lim_{x\to -\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right][/dispmath][dispmath]n=\lim_{x\to -\infty}\left[\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}-1\cdot x\right]=\lim_{x\to -\infty}\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)-x\left(x-1\right)}{x-1}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to -\infty}\frac{x^2+x-4x-4-x^2+x}{x-1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-2x-4}{x-1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{-2-\frac{4}{x}}{1-\frac{1}{x}}=-2[/dispmath]
Leva kosa asimptota je [inlmath]x-2[/inlmath].

Postupak za desnu kosu asimptotu je skoro identičan kao za levu (samo što [inlmath]x\to +\infty[/inlmath] umesto [inlmath]x\to -\infty[/inlmath]) i dobije se identičan rezultat kao za levu kosu, tj. [inlmath]x-2[/inlmath].

I, na kraju, kao poslastica – grafik:

joj tesko da nas dve mozemo biti drugarice, gotovo pa nemoguce ... (( od ove funkcije cu da umrem treba mi jos parnost,znak funkcije,ekstremne vrednosti,monotonost,prevojne tacke... Previse znam , ali spasavajte ako Boga znate

OK, će d'uradimo to, nije problem...


Parnost, neparnost:

Funkcija je parna ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi
[dispmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/dispmath]
ili, grafički gledano, ako je njen grafik simetričan u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu.

Neparna je ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi
[dispmath]f\left(-x\right)=-f\left(x\right)[/dispmath]
ili, grafički gledano, ako je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak.

(Odmah vidimo da ne može biti ni parna ni neparna, budući da joj prekidne tačke i nule nisu simetrične ni u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, ni u odnosu na koordinatni početak, ali ako se baš traži postupno, evo i postupka.)

Funkcija je, dakle, parna ako i samo ako za svako [inlmath]x[/inlmath] važi jednakost:
[dispmath]f\left(-x\right)=f\left(x\right)[/dispmath][dispmath]\frac{\left(-x\right)^2-3\left(-x\right)-4}{\left(-x\right)-1}=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]\frac{x^2+3x-4}{-x-1}=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]\left(x^2+3x-4\right)\left(x-1\right)=\left(x^2-3x-4\right)\left(-x-1\right)[/dispmath][dispmath]x^3+3x^2-4x-x^2-3x+4=-x^3+3x^2+4x-x^2+3x+4[/dispmath][dispmath]2x^3-14x=0[/dispmath]
a ovo, očigledno, ne važi za svako [inlmath]x[/inlmath], pa funkcija nije parna.

Vrlo sličnim postpukom, da ga sad ne ispisujem, dokazuje se da nije ni neparna.


Znak funkcije:

Određivanje znaka funkcije mnogo je lakše ako posmatramo njen faktorisani oblik:
[dispmath]y=\frac{\left(x+1\right)\left(x-4\right)}{x-1}[/dispmath]
Kritične tačke u kojima faktori ove funkcije menjaju znak su [inlmath]x=-1[/inlmath], [inlmath]x=1[/inlmath] i [inlmath]x=4[/inlmath], tako da ćemo znak funkcije ispitivati u svakom od intervala ograničenom ovim tačkama.

[inlmath]1^\circ\\
x\in\left(-\infty,-1\right)\\
\left(x+1\right)<0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)<0[/inlmath]
Brojilac će, prema tome, biti [inlmath]>0[/inlmath], a imenilac [inlmath]<0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y<0}[/inlmath]

[inlmath]2^\circ\\
x\in\left(-1,1\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)<0[/inlmath]
I brojilac i imenilac će biti [inlmath]<0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y>0}[/inlmath]

[inlmath]3^\circ\\
x\in\left(1,4\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)<0\\
\left(x-1\right)>0[/inlmath]
Brojilac će biti [inlmath]<0[/inlmath], a imenilac [inlmath]>0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y<0}[/inlmath]

[inlmath]4^\circ\\
x\in\left(4,+\infty\right)\\
\left(x+1\right)>0\\
\left(x-4\right)>0\\
\left(x-1\right)>0[/inlmath]
I brojilac i imenilac će biti [inlmath]>0[/inlmath]
[inlmath]\Rightarrow\quad\underline{y>0}[/inlmath]


Ekstremne vrednosti:

Za određivanje ekstremnih vrednosti (a i za monotonost) biće nam potreban prvi izvod funkcije. Njega ćemo lakše odrediti ako posmatramo nefaktorisan oblik funkcije:
[dispmath]y=\frac{x^2-3x-4}{x-1}[/dispmath][dispmath]y'=\left(\frac{x^2-3x-4}{x-1}\right)'=\frac{\left(x^2-3x-4\right)'\left(x-1\right)-\left(x^2-3x-4\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^2}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(2x-3\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-3x-4\right)\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}=\frac{2x^2-3x-2x+3-x^2+3x+4}{\left(x-1\right)^2}=\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]
Budući da izraz u brojiocu, [inlmath]x^2-2x+7[/inlmath], nema nule (diskriminanta mu je negativna), ne postoje nule prvog izvoda, pa prema tome, ova funkcija nema ekstremne vrednosti.


Monotonost:

Monotonost zavisi od znaka prvog izvoda: ako je prvi izvod na nekom intervalu pozitivan, funkcija je na tom intervalu monotono rastuća; ako je prvi izvod na nekom intervalu negativan, funkcija je na tom intervalu monotono opadajuća.

Prvi izvod naše funkcije je
[dispmath]y'=\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}[/dispmath]
Kvadratni trinom u brojiocu nema nule, a koeficijent uz kvadratni član je pozitivan, pa će taj polinom uvek imati vrednost veću od nule.
U imeniocu imamo kvadrat binoma, a pošto je kvadrat, i imenilac će uvek biti pozitivan.
Zaključujemo da je prvi izvod ove funkcije uvek veći od nule, tj. da je funkcija uvek monotono rastuća.


Prevojne tačke:

Prevojne tačke su tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli.
Znači, tražimo drugi izvod:
[dispmath]y''=\left[\frac{x^2-2x+7}{\left(x-1\right)^2}\right]'=\frac{\left(x^2-2x+7\right)'\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x+7\right)\left[\left(x-1\right)^2\right]'}{\left(x-1\right)^4}=[/dispmath][dispmath]=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)^2-\left(x^2-2x+7\right)\cdot 2\left(x-1\right)\left(x-1\right)'}{\left(x-1\right)^4}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-2\left(x^2-2x+7\right)}{\left(x-1\right)^3}=[/dispmath][dispmath]=\frac{2x^2-2x-2x+2-2x^2+4x-14}{\left(x-1\right)^3}=\frac{-12}{\left(x-1\right)^3}[/dispmath]
Pošto je brojilac uvek različit od nule, znači da drugi izvod nema nule, pa zaključujemo da ova funkcija nema prevojnih tačaka.


Konveksnost-konkavnost:
(Ne znam da li se i ovo traži, nisi navela, ali kad smo već našli drugi izvod, onda je i ovo lako.)

Ako je drugi izvod na nekom intervalu manji od nule, funkcija je na tom intervalu konveksna (ispupčena).
Ako je drugi izvod na nekom intervalu veći od nule, funkcija je na tom intervalu konkavna (udubljena).

Drugi izvod naše funkcije je
[dispmath]y''=\frac{-12}{\left(x-1\right)^3}[/dispmath]
Za [inlmath]x\in\left(-\infty,1\right)[/inlmath] imenilac je manji od nule, a pošto je i brojilac manji od nule, drugi izvod je pozitivan, pa je funkcija konkavna.
Za [inlmath]x\in\left(1,+\infty\right)[/inlmath] imenilac je veći od nule, a pošto je brojilac manji od nule, drugi izvod je negativan, pa je funkcija konveksna.

kako bi izgledao graf funkcije
[dispmath]\frac{x^4+1}{x^3}[/dispmath]
nisam baš vješt sa tom izradom grafa pa ako netko može neka napravi to u nekom mat. programu, bio bih zahvalan.

A jesi li odredio sve ono ostalo što je potrebno (domen, parnost/neparnost, nule, znak, asimptote, ekstremi, intervali monotonosti, intervali zakrivljenosti, tačke infleksije)? Ako nisi, javi šta te od toga muči, pa ćemo uraditi. A grafik ide na samom kraju, tek kad se sve nabrojano odredi.

P.S. Molim vas, uvek novi zadatak u novu temu.

jesam, jesam... ovo je samo radi provjere da vidim jel mi graf dobar

Evo...


Si ovako dobio?

aha