MATEMANIJA

Zbir najmanje i najvece vrednosti funkcije F(x)jednako x + 1/x na segmentu : 1/2,3 ? Opet molim za pomoc samo da vidim kako se postavlja ovo bez caps loka i uzvicnika

Samo da proverim, da ne bude zabune – da li funkcija glasi [inlmath]F\left(x\right)=x+\frac{1}{x}[/inlmath] a segment [inlmath]\frac{1}{2},3[/inlmath]? I kakav je segment, otvoren, poluotvoren ili zatvoren? Tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right][/inlmath] ili [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right][/inlmath]?

Za minimume i maksimume bitno je da ispitas znak prvog izvoda
[dispmath]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{2}[/dispmath]
Trazis nulu prvog izvoda i dobijas:
[dispmath]x^2-1=0\\
x^2=1\\
x_1=1\quad x_2=-1[/dispmath]
Za:
[dispmath]x<-1\quad x>1[/dispmath] prvi izvod ce biti pozitivan, a funkcija ce u tom intervalu da raste.

A za:
[dispmath]-1<x<1[/dispmath] prvi izvod ce biti negativan i funkcija ce da opada.

Dok ce u se u tacki [inlmath]-1[/inlmath] nalazi maksimum, a u [inlmath]1[/inlmath] minimum.
Posto interval [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath] obuhvata tacku [inlmath]1[/inlmath] to ce biti minimum funkcije na tom intervalu, tacnije [inlmath]x[/inlmath] komponenta, a [inlmath]y[/inlmath] racunas menjanjem u pocetnu funkcije. Znaci [inlmath]y=2[/inlmath].
I onda treba proveriti samo tacke [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i one ce biti maksimumi u tom intervalu. Tj. jedna od njih ce biti maksimum.
[dispmath]f(3)=\frac{10}{3}\quad f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}[/dispmath]
Dakle za [inlmath]x=3[/inlmath] imacemo maksimum funkcije [inlmath]y=\frac{10}{3}[/inlmath]

EDIT:
Nadam se da nije konfuzno
I ovo naravno vazi ako je interval zatvoren barem sa desne strane, inace ne mozemo da uzmemo tacku [inlmath]3[/inlmath].

Hvala ljudi stvarno ste sjajni!!

@daniel interval je ovaj zadnji )

Daniel je napisao:Samo da proverim, da ne bude zabune – da li funkcija glasi [inlmath]F\left(x\right)=x+\frac{1}{x}[/inlmath] a segment [inlmath]\frac{1}{2},3[/inlmath]? I kakav je segment, otvoren, poluotvoren ili zatvoren? Tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right][/inlmath] ili [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right][/inlmath]?

ovaj zadnji slucaj zagrada

Onda je sve ovako kako je Mita lepo objasnio.

Mogu samo da pitam nesto kako ste dosli do ovog izvoda tj kako ste izracunali izvod od x+1/x samo jos to mi treba ;DDDD

Misliš na ovu dvonju u imeniocu?

_Mita je napisao:[dispmath]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{\color{red}2}[/dispmath]

Mala štamparska greška. Umesto dvonje treba da stoji [inlmath]x^2[/inlmath], dabome. Znači, izvod je[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2}[/dispmath]Ali, to ništa ne menja stvari u daljem postupku, budući da je [inlmath]x^2[/inlmath] uvek pozitivno (uz uslov, naravno, da je [inlmath]x\ne 0[/inlmath]), pa ne utiče na znak vrednosti izvoda.

Moze ovo i preko tablice da se odradi, al ne znam ovde preko ovih formula da nacrtam tablicu...