MATEMANIJA

Zbir najmanje i najvece vrednosti funkcije F(x)jednako x + 1/x na segmentu : 1/2,3 ? Opet molim za pomoc samo da vidim kako se postavlja ovo bez caps loka i uzvicnika

Samo da proverim, da ne bude zabune – da li funkcija glasi [inlmath]F\left(x\right)=x+\frac{1}{x}[/inlmath] a segment [inlmath]\frac{1}{2},3[/inlmath]? I kakav je segment, otvoren, poluotvoren ili zatvoren? Tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right][/inlmath] ili [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right][/inlmath]?

Za minimume i maksimume bitno je da ispitas znak prvog izvoda
[dispmath]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{2}[/dispmath]
Trazis nulu prvog izvoda i dobijas:
[dispmath]x^2-1=0\\
x^2=1\\
x_1=1\quad x_2=-1[/dispmath]
Za:
[dispmath]x<-1\quad x>1[/dispmath] prvi izvod ce biti pozitivan, a funkcija ce u tom intervalu da raste.

A za:
[dispmath]-1<x<1[/dispmath] prvi izvod ce biti negativan i funkcija ce da opada.

Dok ce u se u tacki [inlmath]-1[/inlmath] nalazi maksimum, a u [inlmath]1[/inlmath] minimum.
Posto interval [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath] obuhvata tacku [inlmath]1[/inlmath] to ce biti minimum funkcije na tom intervalu, tacnije [inlmath]x[/inlmath] komponenta, a [inlmath]y[/inlmath] racunas menjanjem u pocetnu funkcije. Znaci [inlmath]y=2[/inlmath].
I onda treba proveriti samo tacke [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=\frac{1}{2}[/inlmath] i one ce biti maksimumi u tom intervalu. Tj. jedna od njih ce biti maksimum.
[dispmath]f(3)=\frac{10}{3}\quad f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{2}[/dispmath]
Dakle za [inlmath]x=3[/inlmath] imacemo maksimum funkcije [inlmath]y=\frac{10}{3}[/inlmath]

EDIT:
Nadam se da nije konfuzno
I ovo naravno vazi ako je interval zatvoren barem sa desne strane, inace ne mozemo da uzmemo tacku [inlmath]3[/inlmath].

Hvala ljudi stvarno ste sjajni!!

@daniel interval je ovaj zadnji )

Daniel je napisao:Samo da proverim, da ne bude zabune – da li funkcija glasi [inlmath]F\left(x\right)=x+\frac{1}{x}[/inlmath] a segment [inlmath]\frac{1}{2},3[/inlmath]? I kakav je segment, otvoren, poluotvoren ili zatvoren? Tj. [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right)[/inlmath], [inlmath]\left(\frac{1}{2},3\right][/inlmath] ili [inlmath]\left[\frac{1}{2},3\right][/inlmath]?

ovaj zadnji slucaj zagrada

Onda je sve ovako kako je Mita lepo objasnio.

Mogu samo da pitam nesto kako ste dosli do ovog izvoda tj kako ste izracunali izvod od x+1/x samo jos to mi treba ;DDDD

Misliš na ovu dvonju u imeniocu?

_Mita je napisao:[dispmath]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{\color{red}2}[/dispmath]

Mala štamparska greška. Umesto dvonje treba da stoji [inlmath]x^2[/inlmath], dabome. Znači, izvod je[dispmath]f'\left(x\right)=\frac{x^2-1}{x^2}[/dispmath]Ali, to ništa ne menja stvari u daljem postupku, budući da je [inlmath]x^2[/inlmath] uvek pozitivno (uz uslov, naravno, da je [inlmath]x\ne 0[/inlmath]), pa ne utiče na znak vrednosti izvoda.

Moze ovo i preko tablice da se odradi, al ne znam ovde preko ovih formula da nacrtam tablicu...

shimi je napisao:Moze ovo i preko tablice da se odradi, al ne znam ovde preko ovih formula da nacrtam tablicu...

Imaš uputstvo u ovoj temi, a ako nešto u uputstvu nije sasvim jasno, slobodno možeš u toj temi postaviti i pitanje.

x	[dispmath](-\infty,-1)[/dispmath]	[dispmath](-1,0)[/dispmath]	[dispmath](0,1)[/dispmath]	[dispmath](1,\infty)[/dispmath]
y'	[dispmath]+[/dispmath]	[dispmath]-[/dispmath]	[dispmath]-[/dispmath]	[dispmath]+[/dispmath]
y	[dispmath]\uparrow[/dispmath]	[dispmath]\downarrow[/dispmath]	[dispmath]\downarrow[/dispmath]	[dispmath]\uparrow[/dispmath]

E ovako, prvo odredimo domen funkcije:
[dispmath]x\in(-\infty,0)\cup (0,\infty).[/dispmath]
Zatim odradimo prvi izvod funkcije:
[dispmath]f'(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}[/dispmath]
Iz prvog izvoda vidimo da cemo imati dve nule, [dispmath]x=-1\quad\mbox{i}\quad x=1.[/dispmath]
Sada te dve nule ubacujemo gore u domen, sto se vidi u tabeli...I onda na osnovu tih intervala iz tabele, odredjujemo znak prvog izvoda, a na osnovu znaka prvog izvoda odredjujemo da li pocetna funkcija raste ili opada...

Po ovim crticama koje oznacavaju da li pocetna funkcija raste ili opada, vidimo da u prvom slucaju raste, a zatim opada, sto znaci da ce tu biti maksimum funkcije koji iznosi [inlmath]M_1(-1,-2)[/inlmath].

Dalje vidimo da u sledecem intervalu funkcija opet opada, a zatim u sledecem raste, sto znaci da se tu nalazi minimum, koji iznosi [inlmath]M_2(1,2)[/inlmath].
Dalje je Mita objasnio da se gleda koja tacka pripada zadatom intervalu...

Mislim to je isto to sto je gore objasnjeno, al je na osnovu tabele sve to lakse razumeti i videti...

Sve lepo objašnjeno, jedino me ovo malo buni:

shimi je napisao:sto znaci da ce tu biti maksimum funkcije koji iznosi [inlmath]M_1(-1,0)[/inlmath].

Ako ovo predstavljaju koordinate maksimuma, onda moram da korigujem – [inlmath]x[/inlmath]-koordinata je u redu, ali [inlmath]y[/inlmath]-koordinata (tj. vrednost funkcije u maksimumu) neće biti nula, već je možemo naći kao [inlmath]f\left(-1\right)[/inlmath], a to je [inlmath]-1+\frac{1}{-1}=-2[/inlmath]. Dakle, [inlmath]M_1\left(-1,-2\right)[/inlmath].

Isto važi i za minimum – treba da bude [inlmath]M_2\left(1,2\right)[/inlmath].

Pa jeste tako, hvala, ispravio sam, ne znam majke mi sto sam se presao sad kad sam proveravao.