MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=xe^{-\frac{1}{x^2}}[/dispmath]

- domena, vertikalne i horizontalne asimptote, desna kosa asimptota

- lijeva kosa, ekstremi, intervali monotonosti, graf funkcije

Može biti da sam falio na samom grafu, ostalo bi valjda trebalo biti dobro...

K.A.
Pogrešan ti je postupak za izračunavanje parametra [inlmath]l[/inlmath], iako si tačno dobio da je [inlmath]l=0[/inlmath].
U pretposlednjem koraku, [inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln 1}{\ln e^\frac{1}{x}}[/inlmath], imaš deljenje nule nulom, pa ne možeš napisati da je to jednako nuli.
Parametar [inlmath]l[/inlmath] bi se mogao odrediti sledećim postupkom:
[dispmath]l=\lim_{x\to\pm\infty}\left[f\left(x\right)-kx\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\left(xe^{-\frac{1}{x^2}}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}x\left(e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}{-x\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}{-x\ln e^{-\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}{-x\ln\left(1+\underbrace{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}_{\to 0}\right)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}{-x\ln\left[\left(1+e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)^\frac{1}{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}\right]^{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\cancel{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}}{-x\cancel{\left(e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)}\ln\cancelto{e}{\left(1+e^{-\frac{1}{x^2}}-1\right)^\frac{1}{e^{-\frac{1}{x^2}}-1}}}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{-x\ln e}=-\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x}=0[/dispmath]
Izvod [inlmath]\left(-\frac{1}{x^2}\right)'[/inlmath] ti je lakše da računaš kao tablični izvod, nego kao izvod količnika:[dispmath]\left(-\frac{1}{x^2}\right)'=\left(-x^{-2}\right)'=-\left(x^{-2}\right)'=-\left(-2\right)x^{-3}=\frac{2}{x^3}[/dispmath]

---

Grafik: ako onaj crveni kružić u koordinatnom početku označava da funkcija u nuli nije definisana, onda je grafik ispravan.
Trebalo bi da odrediš i drugi izvod, čijim ćeš izjednačavanjem s nulom dobiti koordinate dveju tačaka infleksije (koje se i primećuju na grafiku koji si nacrtao), a koje iznose [inlmath]x=\pm\sqrt 2[/inlmath]. Koordinatni početak takođe predstavlja granicu između različitih intervala zakrivljenosti, ali, budući da funkcija nije definisana za [inlmath]x=0[/inlmath], onda to ne možemo nazvati tačkom infleksije.

Kako kažeš, vidi se i iz samog grafa Tu je jedino druga derivacija malo kompliciranija, pa ako će nekome trebati, evo ovdje.

Svuda gde si pisao [inlmath]f\:'\left(x\right)[/inlmath] treba, zapravo, da stoji [inlmath]f\:''\left(x\right)[/inlmath]. Znači, ne prvi, već drugi izvod.

Mislim da mnogo i nepotrebno komplikuješ. Kad imaš, recimo, izraz
[dispmath]\frac{2x^2+4}{x^5}=\frac{4x}{x^4}[/dispmath]
(prvo, mogao si odmah u razlomku na desnoj strani da skratiš [inlmath]x[/inlmath] u brojiocu i imeniocu), odmah skraćuj [inlmath]x^4[/inlmath] u imeniocu levo i desno:
[dispmath]\frac{2x^2+4}{x^{\cancel 5}}=\frac{4x}{\cancel{x^4}}[/dispmath]
umesto što to [inlmath]x^4[/inlmath] nepotrebno provlačiš kroz sledećih nekoliko koraka.

I nije bilo potrebe da faktor [inlmath]\left(1+\frac{2}{x^2}\right)[/inlmath] pišeš kao [inlmath]\frac{x^2+2}{x^2}[/inlmath]. Da si ga ostavio u obliku [inlmath]\left(1+\frac{2}{x^2}\right)[/inlmath], nalaženje drugog izvoda bi bilo mnogo jednostavnije, svelo bi se na tablični izvod, umesto na izvod količnika:
[dispmath]f\:''\left(x\right)=\left[e^{-\frac{1}{x^2}}\left(1+\frac{2}{x^2}\right)\right]'=e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\frac{2}{x^3}\left(1+\frac{2}{x^2}\right)+e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot 2\cdot\frac{-2}{x^3}=[/dispmath][dispmath]=2\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}\left(1+\frac{2}{x^2}-2\right)=2\frac{e^{-\frac{1}{x^2}}}{x^3}\left(\frac{2}{x^2}-1\right)[/dispmath]
Eto, u ukupno četiri koraka.