[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}[/dispmath]

U delu zadatka s kosim asimptotama, moguće je, korišćenjem identiteta
[dispmath]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\quad\Rightarrow\quad a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}[/dispmath]
izračunati [inlmath]l[/inlmath] i bez Lopitala:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2-\cancel{x^3}+\cancel{x^3}}{\sqrt[3]{\left(2x^2-x^3\right)^2}-x\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x^2}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{\sqrt[3]{\left(\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-1\right)^2}-\sqrt[3]{\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-1}+1}=\frac{2}{1-\left(-1\right)+1}=\frac{2}{3}[/dispmath]
Da ne bude zabune, sasvim je OK i metod s Lopitalom, al' čisto da pokažem da se može i na ovaj način...

Grafik ti nije dobar. Nisi vodio računa o intervalima zakrivljenosti. Takođe, kada si napisao [inlmath]x\left(2-x\right)^2=0\;\Rightarrow\;\enclose{box}{x_2=0}\;\enclose{box}{x_3=2}[/inlmath], nisi naglasio šta te tačke predstavljaju, a one su vrlo bitne za izgled grafika, tako da je i to povuklo još jednu grešku u grafiku.

Hmm...
[inlmath]0[/inlmath] je nultočka, a ujedno i lokalni minimum...
[inlmath]2[/inlmath] je nultočka, ali ne i ekstrem

Možda su tu bitni intervali zakrivljenosti, ali ih nisam računao...

[inlmath]0[/inlmath] je lokalni minimum u kojem prvi izvod nije jednak nuli. Pomalo neobično, ali i to se dešava.

Kolika je, zapravo, vrednost prvog izvoda u tačkama [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]?

Aaa, na to misliš

Vrijednost prvog izvoda za [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] je nedefinirana Odnosno, kad unesem u digitron (a može se odmah i bez jer derivacija nije komplicirana), izbacuje error

E baš to mislim.

Pa ako izvod u tim tačkama nije definisan, šta se onda dešava s nagibom funkcije u tim tačkama?

Te točke onda ipak nisu ekstremi

Dvojka nije ekstrem, definitivno. Nula jeste ekstrem, i to lokalni minimum, ako imamo u vidu definiciju lokalnog minimuma... Nego, izvod funkcije u nekoj tački predstavlja nagib funkcije u toj tački, a ako je izvod u nekoj tački pozitivno ili negativno beskonačan, kao što jeste u ovim dvema tačkama, kakav je, dakle, nagib u tim tačkama?

Ne znam, nisam se još susreo s tim da mi izvod za neku točku bude beskonačan...
Možda i nema nagiba

Ima, ali je beskonačan. Isto kao i izvod. Šta znači beskonačan nagib – znači da je u toj tački kriva funkcije praktično upravna (okomita) na [inlmath]x[/inlmath]-osu...

Ajd nađi drugi izvod (nije teško) i onda iz njega nađi intervale zakrivljenosti (takođe nije teško), pa ih unesi u grafik... Biće ti onda sve to vizuelno mnogo jasnije...