MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}[/dispmath]

U delu zadatka s kosim asimptotama, moguće je, korišćenjem identiteta
[dispmath]a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\quad\Rightarrow\quad a+b=\frac{a^3+b^3}{a^2-ab+b^2}[/dispmath]
izračunati [inlmath]l[/inlmath] i bez Lopitala:
[dispmath]\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x^2-\cancel{x^3}+\cancel{x^3}}{\sqrt[3]{\left(2x^2-x^3\right)^2}-x\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x^2}=[/dispmath][dispmath]=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2}{\sqrt[3]{\left(\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-1\right)^2}-\sqrt[3]{\cancelto{0}{\frac{2}{x}}-1}+1}=\frac{2}{1-\left(-1\right)+1}=\frac{2}{3}[/dispmath]
Da ne bude zabune, sasvim je OK i metod s Lopitalom, al' čisto da pokažem da se može i na ovaj način...

Grafik ti nije dobar. Nisi vodio računa o intervalima zakrivljenosti. Takođe, kada si napisao [inlmath]x\left(2-x\right)^2=0\;\Rightarrow\;\enclose{box}{x_2=0}\;\enclose{box}{x_3=2}[/inlmath], nisi naglasio šta te tačke predstavljaju, a one su vrlo bitne za izgled grafika, tako da je i to povuklo još jednu grešku u grafiku.

Hmm...
[inlmath]0[/inlmath] je nultočka, a ujedno i lokalni minimum...
[inlmath]2[/inlmath] je nultočka, ali ne i ekstrem

Možda su tu bitni intervali zakrivljenosti, ali ih nisam računao...

[inlmath]0[/inlmath] je lokalni minimum u kojem prvi izvod nije jednak nuli. Pomalo neobično, ali i to se dešava.

Kolika je, zapravo, vrednost prvog izvoda u tačkama [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]?

Aaa, na to misliš

Vrijednost prvog izvoda za [inlmath]0[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath] je nedefinirana Odnosno, kad unesem u digitron (a može se odmah i bez jer derivacija nije komplicirana), izbacuje error

E baš to mislim.

Pa ako izvod u tim tačkama nije definisan, šta se onda dešava s nagibom funkcije u tim tačkama?

Te točke onda ipak nisu ekstremi

Dvojka nije ekstrem, definitivno. Nula jeste ekstrem, i to lokalni minimum, ako imamo u vidu definiciju lokalnog minimuma... Nego, izvod funkcije u nekoj tački predstavlja nagib funkcije u toj tački, a ako je izvod u nekoj tački pozitivno ili negativno beskonačan, kao što jeste u ovim dvema tačkama, kakav je, dakle, nagib u tim tačkama?

Ne znam, nisam se još susreo s tim da mi izvod za neku točku bude beskonačan...
Možda i nema nagiba

Ima, ali je beskonačan. Isto kao i izvod. Šta znači beskonačan nagib – znači da je u toj tački kriva funkcije praktično upravna (okomita) na [inlmath]x[/inlmath]-osu...

Ajd nađi drugi izvod (nije teško) i onda iz njega nađi intervale zakrivljenosti (takođe nije teško), pa ih unesi u grafik... Biće ti onda sve to vizuelno mnogo jasnije...

Jesam
[dispmath]f''(x)=\frac{-8}{9\sqrt[3]{x^4(2-x)^5}}[/dispmath]
Infleksija je [inlmath]x=2[/inlmath]

za [inlmath]x<2\;\to\;f''(x)<0[/inlmath] pa je funkcija konkavna
za [inlmath]x>2\;\to\;f''(x)>0[/inlmath] pa je funkcija konveksna

Ako [inlmath]2[/inlmath] uvrstimo u drugu derivaciju, dobit ćemo istu situaciju kao s nulom, a to je beskonačnost. To znači da i u [inlmath]x=2[/inlmath] moramo dobiti okomitost na [inlmath]x[/inlmath] os

Baš mi je drago što sam naišao na ovaj zadatak

I meni.

Znači, da rezimiramo... Prvi izvod u tački [inlmath]0[/inlmath] nije definisan, ali, kako se približavamo nuli s leve strane, tako prvi izvod teži ka [inlmath]-\infty[/inlmath], što znači da će funkcija prilikom svog približavanja tački [inlmath]x=0[/inlmath], da tako kažem, „strmoglavo“ opadati, pod pravim uglom u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu. Kako prođemo nulu, funkcija „skače uvis“, poput rakete koja se lansira vertikalno, da bi, kako odmičemo udesno od nule, nagib krenuo da opada. Znači, levi i desni limes prvog izvoda u nuli se razlikuju, levi iznosi [inlmath]-\infty[/inlmath], a desni [inlmath]+\infty[/inlmath]. U samoj nuli prvi izvod nije definisan, tj. funkcija u toj tački nije diferencijabilna, a na grafiku se to vidi tako što funkcija u nuli ima „šiljak“ kao lokalni minimum.

Sa [inlmath]x=2[/inlmath] je situacija malo drugačija. Kako se dvojci približavamo s leve strane, funkcija takođe strmoglavo opada kao i kad se približavamo nuli, međutim, kad prođemo dvojku, funkcija nastavlja svoj pad. Levi i desni limes prvog izvoda u dvojci su jednaki i iznose [inlmath]-\infty[/inlmath], za razliku od nule, u kojoj su levi i desni limes prvog izvoda bili različiti. Zbog toga u dvojci nemamo šiljak, već samo imamo situaciju da u dvojci nagib funkcije dostiže vertikalni pravac.

Molim te da ove „slobodnije“ izraze koje sam ovde koristio – „strmoglavo“, „lansiranje“, „skače uvis“ itd. ne koristiš na ispitu, njih sam ovde upotrebio samo da bih to nekako pokušao da dočaram...

eseper je napisao:Ako [inlmath]2[/inlmath] uvrstimo u drugu derivaciju, dobit ćemo istu situaciju kao s nulom, a to je beskonačnost. To znači da i u [inlmath]x=2[/inlmath] moramo dobiti okomitost na [inlmath]x[/inlmath] os

Nemoj mešati drugi izvod i okomitost. Oni nemaju veze jedno s drugim. Prvi izvod nam pokazuje nagib funkcije, a drugi izvod nam pokazuje zakrivljenost. U [inlmath]x=2[/inlmath] jesmo dobili okomitost, ali ne zato što je u njoj beskonačan drugi izvod, već prvi izvod.