MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\log_\frac{1}{2}\frac{\left(2^x-1\right)^2}{2^{x+1}-1}[/dispmath]
Za početak, kako odrediti domenu funkcije? Po čemu se ova logaritamska funkcija u određivanju domene razlikuje od one "klasične" [inlmath]\ln[/inlmath]? Sve što znam jest da je ova funkcija padajuća zbog ovakvog logaritma s bazom.

Koji se sve kriteriji trebaju postaviti pri određivanju ove domene? Argument logaritma veći od nule, nazivnik različit od nule... to je sve ili postoji još nešto karakteristično za ovakvu funkciju?

eseper je napisao:Po čemu se ova logaritamska funkcija u određivanju domene razlikuje od one "klasične" [inlmath]\ln[/inlmath]?

Ni po čemu. Uslovi za definisanost ove funkcije identični su uslovima za definisanost „klasične“ [inlmath]\ln[/inlmath] funkcije. To jest, logaritam treba da bude strogo veći od nule. I ništa više.

Uopšteno, kod logaritamske funkcije [inlmath]\log_b a[/inlmath] treba da je ispunjeno [inlmath]a>0[/inlmath], [inlmath]b>0[/inlmath] i [inlmath]b\ne 1[/inlmath], ail kod funkcije u ovom zadatku, [inlmath]\log_\frac{1}{2}a[/inlmath], drugi i treći uslov su već ispunjeni. Kao, uostalom, i kod [inlmath]\ln[/inlmath] funkcije.

I, naravno, kao što si i napisao, nazivnik mora biti različit od nule.

I to je sve.

Onda, imam sljedeće:
[dispmath]\frac{\left(2^x-1\right)^2}{2^{x+1}-1}>0[/dispmath]
tj.
[inlmath]2^x-1>0,\;{\color{red}x>0}[/inlmath]

ujedno i [inlmath]2^x-1\ne 0[/inlmath] tj. [inlmath]\color{red}x\ne 0[/inlmath] (jer da ne vrijedi ovo dogodio bi se )


i još [inlmath]2^{x+1}-1\ne 0[/inlmath] tj. [inlmath]\color{red}x\ne -1[/inlmath]

Iz ovoga proizlazi da sve navedene [inlmath]x[/inlmath]-eve ne smijem obuhvatiti, pa je domena funkcije
[dispmath]Df=\left<-1,0\right>\cup\left<0,+\infty\right>[/dispmath]
Sutra kroz dan ću postaviti cijeli zadatak...

eseper je napisao:[inlmath]2^x-1>0,\;{\color{red}x>0}[/inlmath]

[inlmath]2^{x{\color{red}+1}}-1>0\quad\Rightarrow\quad x>{\color{red}-1}[/inlmath]

eseper je napisao:ujedno i [inlmath]2^x-1\ne 0[/inlmath] tj. [inlmath]\color{red}x\ne 0[/inlmath] (jer da ne vrijedi ovo dogodio bi se )

eseper je napisao:i još [inlmath]2^{x+1}-1\ne 0[/inlmath] tj. [inlmath]\color{red}x\ne -1[/inlmath]

eseper je napisao:Iz ovoga proizlazi da sve navedene [inlmath]x[/inlmath]-eve ne smijem obuhvatiti, pa je domena funkcije
[dispmath]Df=\left<-1,0\right>\cup\left<0,+\infty\right>[/dispmath]

Zanimljivo kako si ovde dobio ispravne granice domena, iako si pogrešio u onoj prvoj stavki...

Odlutao mi je pogled kada sam prepisivao, inače identično mi je

Bome, u ovom zadatku sam se najviše namučio oko nultočaka i kose asimptote

Nultočke:

[inlmath]x_1=\log_2\left(2+\sqrt{2}\right)[/inlmath] što je približno [inlmath]1,77[/inlmath] (u domeni je)
[inlmath]x_2=\log_2\left(2-\sqrt{2}\right)[/inlmath] što je približno [inlmath]-0,77[/inlmath] (u domeni je)

Asimptote:

Vertikalne asimptote
[inlmath]\lim\limits_{x\to -1+}f(x)=-\infty\;\;\;x=-1[/inlmath] D.V.A.
[inlmath]\lim\limits_{x\to 0-}f(x)=+\infty\;\;\;x=0[/inlmath]
[inlmath]\lim\limits_{x\to 0+}f(x)=+\infty\;\;\;x=0[/inlmath]
Nula je obostrana V.A.

Desna horizontalna asimptota:
[inlmath]\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\;\;[/inlmath]

Desna kosa asimptota:
L'Hopitalom sam dobio
[inlmath]k=-1[/inlmath]
i za [inlmath]l=1[/inlmath]
pa bi kosa asimptota trebala biti [inlmath]y=-x+1[/inlmath]

Intervali monotonosti
[dispmath]f'(x)=\frac{4\cdot 2^x}{\left(2^x-1\right)\left(2\cdot 2^x-1\right)}[/dispmath]
Brojnik ne treba razmatrati. Nazivnik da.
[inlmath]2\cdot 2^x-1>0\\
2^x-1>0[/inlmath]
Oba uvjeta s pripadnim točkama imam u domeni

Tablicom (a isto se dobije i uvrštavanjem broja u der.) dobije se da je funkcija padajuća u intervalu [inlmath]\left<-1,0\right>[/inlmath] a rastuća [inlmath]\left<0,+\infty\right>[/inlmath]
Prije nego što krenem na crtanje grafa, može li ova funkcija uopće igdje biti rastuća s obzirom na bazu logaritma?

I, još jedno pitanje na koje ranije nisam obraćao pažnju:

[inlmath]\ln(0)[/inlmath] je nedefinirano, međutim pri traženju neke asimptote ili u bilo kojoj drugoj situaciji, ako mi se dogodi da imam [inlmath]\ln(0)[/inlmath], da li da pišem samo [inlmath]\infty[/inlmath] ili [inlmath]-\infty[/inlmath]?

Wolfram kaže sa [inlmath]-[/inlmath]...

eseper je napisao:može li ova funkcija uopće igdje biti rastuća s obzirom na bazu logaritma?

[inlmath]\log_\frac{1}{2}\frac{1}{x}[/inlmath] ti je primer funkcije s istom tom bazom logaritma, a koja je rastuća na celom svom domenu.
I, uopšte, logaritamska funkcija s bazom koja je između nule i jedinice može biti rastuća, ako je argument logaritma na tom intervalu opadajuća funkcija od [inlmath]x[/inlmath].
Međutim, u ovom zadatku nisi dobro dobio prvi izvod, pa samim tim ni intervale monotonosti. (I nemoj pisati [inlmath]4\,2^x[/inlmath] i [inlmath]2\,2^x[/inlmath], već obavezno [inlmath]4\cdot 2^x[/inlmath] i [inlmath]2\cdot 2^x[/inlmath], jer ovako kako si napisao, bez obzira na razmak koji si stavio, izgleda kao da je u pitanju stepenovanje dvocifrenih brojeva. )

Izuzev izvoda i intervala monotonosti, sve ostalo ti je OK.

eseper je napisao:[inlmath]\ln(0)[/inlmath] je nedefinirano, međutim pri traženju neke asimptote ili u bilo kojoj drugoj situaciji, ako mi se dogodi da imam [inlmath]\ln(0)[/inlmath], da li da pišem samo [inlmath]\infty[/inlmath] ili [inlmath]-\infty[/inlmath]?

Wolfram kaže sa [inlmath]-[/inlmath]...

Sa minusom, obavezno. Na koliki stepen moraš dići broj [inlmath]e[/inlmath] da bi dobio nulu? Ako [inlmath]e[/inlmath] digneš na [inlmath]+\infty[/inlmath], dobićeš [inlmath]e^{+\infty}[/inlmath], a to je [inlmath]+\infty[/inlmath]. Ako [inlmath]e[/inlmath] digneš na [inlmath]1[/inlmath], dobićeš [inlmath]e[/inlmath]. Ako [inlmath]e[/inlmath] digneš na [inlmath]0[/inlmath], dobićeš [inlmath]1[/inlmath]. Tek ako [inlmath]e[/inlmath] digneš na neki negativan broj, dobićeš rezultat manji od jedinice. Što [inlmath]e[/inlmath] dižeš na negativniji broj, dobićeš rezultat koji je sve bliži nuli. Znači, [inlmath]e[/inlmath] je potrebno dići na [inlmath]-\infty[/inlmath] da bi dobio nulu, prema tome, logaritam nule bi bio [inlmath]-\infty[/inlmath], nikako [inlmath]+\infty[/inlmath].

To i inače važi za svaki logaritam čija je osnova veća od jedinice. Za osnovu koja je između nule i jedinice važi obrnuta priča, tako da je npr. [inlmath]\log_\frac{1}{2}0=+\infty[/inlmath]. Pogledaj animaciju logaritamske funkcije u zavisnosti od promene baze logaritma i posmatraj deo gde [inlmath]x\to 0^+[/inlmath] (tj. deo neposredno uz [inlmath]y[/inlmath]-osu).

Ok

Ova derivacija je prava kobasica, tako da se vrlo lako i falije. Evo ponovljenog postupka, išao sam baš polako
[dispmath]f'(x)=\frac{2^{x+1}\left(2-2^x\right)}{\left(-2^x+1\right)\left(2^{x+1}-1\right)}[/dispmath]
Kao moguća točka za ekstrem može jedino biti [inlmath]x=1[/inlmath] jer je jedino ta točka iz domene.

Eh, kako da ti kažem... Opet si negde omašio.
Treba da se dobije
[dispmath]f\:'\left(x\right)=\frac{2^{2x+1}}{\left(1-2^x\right)\left(2^{x+1}-1\right)}[/dispmath]