MATEMANIJA

Pozdrav svima, imam jednu nejasnoću oko sledećeg zadatka:

Broj rešenja jednačine [inlmath]|\log_{10}x|=|x-9|[/inlmath] je:
Tačan odgovor je [inlmath]3[/inlmath].

Smatrao sam da se ovaj zadatak radi grafički, proverio u rešenju i video da to i jeste slučaj (zato se takođe nadam i da nisam promašio oblast za ovu temu ). Nacrtamo funkciju sa leve strane, zatim funkciju sa desne strane jednakosti i presečne tačke su rešenja. Kada sam na računaru nacrtao grafike, dobio sam da se zaista javljaju tri presečne tačke, međutim jedna od tačaka je bila sa koordinatama [inlmath](0,9)[/inlmath], a mislim da je takođe potrebno postaviti uslov [inlmath]x>0[/inlmath] zbog logaritma. Zbunjuje me, kako je to rešenje?

Svideo mi se ovaj zadatak, jer ima mnogo lep trik.
Kao što si i sam primetio, presečna tačka nikako ne može biti [inlmath](0,9)[/inlmath], zbog nedefinisanosti logaritma u nuli. Ali, ako dovoljno zumiraš grafik, uočićeš da ta presečna tačka zapravo i nije [inlmath](0,9)[/inlmath], nego joj je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata nešto malo veća od nule. Naime, kako [inlmath]x[/inlmath] teži nuli s desne strane, tako vrednost logaritma teži negativnoj beskonačnosti, pa [inlmath]|\log_{10}x|[/inlmath] teži pozitivnoj beskonačnosti. Za [inlmath]x=1[/inlmath], vrednost [inlmath]|\log_{10}x|[/inlmath] iznosi nula, pa pošto je [inlmath]|\log_{10}x|[/inlmath] neprekidna i monotono opadajuća od [inlmath]+\infty[/inlmath] do [inlmath]0[/inlmath] u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath], a [inlmath]|x-9|[/inlmath] takođe neprekidna i monotono opadajuća od [inlmath]9[/inlmath] do [inlmath]8[/inlmath] u istom tom intervalu, sledi da u intervalu [inlmath](0,1)[/inlmath] grafici ove dve funkcije moraju negde da se seku.