MATEMANIJA

[dispmath]f(x)=\frac{xe^x}{e^x-1}[/dispmath]
Nema vertikalne asimptote. (dobije se [inlmath]1[/inlmath] slijeva i zdesna)
Nema horizontalne asimptote. (dobije se beskonaćno zdesna i [inlmath]0[/inlmath] slijeva, tj. trebali smo dobit bar u jednom [inlmath]0[/inlmath] da ima bar jedne H.A.?)

Kad smo rješavali to na satu, asistenica se začudila šta nema H.A. pa smo prekinili sa zadatkom i rekla je da će sljedeći sat rješit, ali nije me bilo...

Šta ne može računat onda kosu asimptotu? Šta ne može bit da nemamo ni V.A. ni H.A.?

Ima levu horizonatlnu asimptotu:[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\frac{xe^x}{\cancel{e^x}-1}=-\lim_{x\to -\infty}xe^x=[/dispmath]Smena [inlmath]t=-x[/inlmath][dispmath]=-\lim_{t\to +\infty}\left(-te^{-t}\right)=\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{e^t}=0[/dispmath](EDIT: Sad videh da si dopisao da se dobije [inlmath]0[/inlmath] sleva, tako da ovo i nije bilo potrebe da pišem, al' neka ga.)

blake je napisao:(... tj. trebali smo dobit bar u jednom [inlmath]0[/inlmath] da ima bar jedne H.A.?)

Ovo ne razumem.

Desnu horizontalnu asimptotu nema, ali, kako i sam kažeš, kad nema horizontalne, onda računamo kosu asimptotu. Desna kosa asimptota postoji i iznosi [inlmath]y=x[/inlmath].

Postoje i funkcije koje nemaju ni vertikalne, ni horizontalne, ni kose asimptote. Primer za to je funkcija koju vrlo često koristimo – kvadratna funkcija [inlmath]y=x^2[/inlmath].

Pa dddd

Ma dobro je, ima livu horizontalnu asimptotu. Nema V.A. ni K.A. i to je to.
Nego
Zašto meni piše
Kada [inlmath]x[/inlmath] ide u minus beskonačno
[dispmath]\frac{xe^x}{e^x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right][/dispmath]
A kasnij piše
[dispmath]e^{-\infty}=0[/dispmath]
Kako smo onda mogli dobit beskonačno u nazivniku u prvom izrazu?

btw
[inlmath]\frac{\infty}{0}=0[/inlmath]
[inlmath]\frac{0}{\infty}=0[/inlmath]

blake je napisao:Ma dobro je, ima livu horizontalnu asimptotu. Nema V.A. ni K.A. i to je to.

Dobro, ima još i desnu K.A. kao što smo već konstatovali...

blake je napisao:Zašto meni piše
Kada [inlmath]x[/inlmath] ide u minus beskonačno
[dispmath]\frac{xe^x}{e^x-1}=\left[\frac{\infty}{\infty}\right][/dispmath]

Verovatno zbog onog što sam pokazao i u svom postupku iz prethodnog posta:

Daniel je napisao:[dispmath]\lim_{x\to -\infty}f\left(x\right)=\lim_{x\to -\infty}\frac{xe^x}{\cancel{e^x}-1}=-\lim_{x\to -\infty}xe^x=[/dispmath]Smena [inlmath]t=-x[/inlmath][dispmath]=-\lim_{t\to +\infty}\left(-te^{-t}\right)={\color{red}\lim_{t\to +\infty}\frac{t}{e^t}}=0[/dispmath]

E, ovo crveno jeste izraz tipa [inlmath]\left[\frac{\infty}{\infty}\right][/inlmath], s tim da imenilac brže teži beskonačnosti od brojioca, pa zato vrednost razlomka teži nuli.

blake je napisao:btw
[inlmath]\frac{\infty}{0}=0[/inlmath]

Nije, [inlmath]\frac{\infty}{0}=\infty[/inlmath].

blake je napisao:[inlmath]\frac{0}{\infty}=0[/inlmath]

Jeste.

[dispmath]\lim_{x\to -\infty}\frac{xe^x}{e^x-1}=\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{e^x-1}\cdot\lim_{x\to -\infty}(xe^x)[/dispmath]
Je li mogu ja gledat to ovako, u prvom se izrazu dobije [inlmath]0[/inlmath] koja pomnožena s beskonačnošću iz drugog izrara daje [inlmath]0[/inlmath] ?
Ne mogu druge načine razumit.

Također, ne znam dobit rezultat [inlmath]x[/inlmath] za desnu kosu asimptotu
[dispmath]K.A.[/dispmath][dispmath]k_L=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to +\infty}\frac{xe^x}{x\left(e^x-1\right)}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}}=1[/dispmath][dispmath]l=\lim_{x\to +\infty}(f(x)-k_L)=\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{xe^x-e^x+1}{e^x-1}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{x-1+\frac{1}{e^x}}{1-\frac{1}{e^x}}=\frac{x-1}{1}[/dispmath]
Po formuli [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]\pm\infty[/inlmath] , ali pošto smo imali L.H.A. tražili smo samo D.K.A. tj [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]+\infty[/inlmath], je li to uredu?

blake je napisao:Je li mogu ja gledat to ovako, u prvom se izrazu dobije [inlmath]0[/inlmath] koja pomnožena s beskonačnošću iz drugog izrara daje [inlmath]0[/inlmath] ?

Ne možeš gledati tako, jer nula pomnožena beskonačnošću daje neodređen rezultat. Može dati i nulu, a može dati i beskonačno, zavisno od toga da li izraz koji teži nuli brže teži nuli nego što onaj drugi izraz teži beskonačnosti. Ili obrnuto.

blake je napisao:Po formuli [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]\pm\infty[/inlmath] , ali pošto smo imali L.H.A. tražili smo samo D.K.A. tj [inlmath]x[/inlmath] teži u [inlmath]+\infty[/inlmath], je li to uredu?

Da, to je u redu, a u izrazu za parametar [inlmath]l[/inlmath] kose asimptote zaboravio si da uvrstiš i [inlmath]x[/inlmath], budući da taj izraz glasi:
[dispmath]l=\lim_{x\to +\infty}\left[f\left(x\right)-k_L{\color{red}x}\right][/dispmath]

Šta da napravim onda s razlomkom [inlmath]\frac{x}{e^x-1}[/inlmath]

[dispmath]\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{e^x-1}=\lim_{x\to +\infty}\frac{\cancelto{0}{\frac{x}{e^x}}}{1-\cancelto{0}{\frac{1}{e^x}}}=0[/dispmath]

Pa da, ali šta nisi reka da se dobije [inlmath]x[/inlmath]?

Jesam, rekao sam da se za desnu K.A. dobije [inlmath]y=x[/inlmath].
Jednačina desne K.A. je oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath], a pošto smo dobili da je [inlmath]k=1[/inlmath] i da je [inlmath]l=0[/inlmath], ta jednačina se onda svodi na [inlmath]y=1\cdot x+0[/inlmath], tj. na [inlmath]y=x[/inlmath].