MATEMANIJA

Pomoć!

Odrediti domenu, temeljni period, parnost, nultočke, asimptote, intervale monotonosti i zakrivljenosti (minimum, maksimum i infleksiju) te nacrtati graf.
[dispmath]f(x)=\cos^2x+\cos(3x)[/dispmath]
Domena: svi realni brojevi
Parnost: Parna funkcija
Temeljni period: [inlmath]2\pi[/inlmath]
Nultočke: E ovdje sam zapeo. Kako ih dobiti?

Izjednačiš to sa nulom.
[dispmath]\cos^2 x+\cos 3x=0[/dispmath]
Iskoristiš da je:
[dispmath]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/dispmath]
(ako ne znaš ovu formulu, možeš je izvesti preko adicionih koristeći: [inlmath]\cos 3x=\cos(2x+x)[/inlmath])
Vratiš to u polaznu jednačinu i dobiješ:
[dispmath]\cos^2 x+4\cos^3 x-3\cos x=0\\
\cos x(\cos x+4\cos^2 x-3)=0[/dispmath]
Odatle imaš mogućnost da je [inlmath]\cos x=0[/inlmath], i rešiš jednačinu.
Jednačinu [inlmath]\cos x+4\cos^2 x-3=0[/inlmath] ćeš smenom [inlmath]\cos x=t[/inlmath] svesti na kvadratnu
[dispmath]4t^2+t-3=0[/dispmath]
čija su rešenja:
[dispmath]t_1=-1,\;t_2=\frac{3}{4}[/dispmath]
Vratiš smenu, itd.

Hvala. Tako sam i mislio da se radi, ali zašto ne provjeriti.

Pošto je period [inlmath]2\pi[/inlmath], imat ćemo (nadam se točno) 4 nultočke.

[inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\frac{3\pi}{2}[/inlmath], [inlmath]\pi[/inlmath] i [inlmath]\arccos\left(\frac{3}{4}\right)[/inlmath] (?)

Ovo što si naveo jesu nule funkcije, ali ih ima još, baš zato što je kosinus periodična funkcija.
Tako je recimo [inlmath]\pi[/inlmath] rešenje ove jednačine, ali i [inlmath]\pi+2n\pi[/inlmath], gde je [inlmath]n[/inlmath] – ceo broj.
Tako da je broj nula beskonačan.
Konačan broj nula možeš imati ako posmatraš određeni interval, ako je recimo naglašeno da je domen funkcije ograničen na [inlmath][0,\pi].[/inlmath] (primera radi)
Ako nije naglašeno kakav je domen, onda u njega uključujemo sve vrednosti za koje je funkcija definisana.
Doduše, za skiciranje grafika ti treba nekoliko nula , ali kada ih računaš moraš navesti obrasce koji daju sve postojeće nule.
I još jedna mala napomena, pošto si (u poslednjoj poruci) napisao da je period kosinusne funkcije [inlmath]2\pi[/inlmath], to je njen osnovni (temeljni) period, dok je period zapravo [inlmath]2k\pi[/inlmath].

Hvala na odgovoru

Da, podrazumijeva se da ih ima još jer se funkcija ponavlja. Ali ove su dovoljne za skicu E da. temeljni period bi bio [inlmath]2k\pi[/inlmath].

Kasnije ću probati ekstreme i intervale pa ću napisati ovde što sam dobio

Ne, baš naprotiv, prvo si dobro napisao da je temeljni period [inlmath]2\pi[/inlmath], ali si onda napravio lapsus u sledećem postu da je to i period. Period je ovo drugo.
Period [inlmath]P[/inlmath] je zabravo broj za koji važi [inlmath]f(P+x)=f(x)[/inlmath]. Osnovni (temeljni) period je najmanje pozitivna vrednost [inlmath]P[/inlmath] za koju je taj uslov ispunjen. Zato je temeljni period jedinstven, a period [inlmath]P[/inlmath] obuhvata više vrednosti.

Tako je

Išao sam tražiti ekstreme, ali bome namučih se sa sređivanjem izraza. Zato ih ne želim tražiti prije nego mi netko potvrdi da je ovo točno:
[dispmath]f'(x)=-2\sin 2x-3\sin(3x)[/dispmath]
Sređivanjem, tj. rastavljanjem na adicijske formule [inlmath]\sin(3x)[/inlmath] dobio sam ovo:
[dispmath]f'(x)=\sin x[-4\cos x+3-12\cos^2x][/dispmath]

Prvi izvod treba da ti bude [inlmath]-\sin 2x-3\sin 3x[/inlmath], tj. bez dvojke ispred [inlmath]\sin 2x[/inlmath].

Tako je, dodao dvojku bez potrebe :S Uh, sada to treba sve ispočetka....

Jel može netko izračunati ovo i napisati izraz kada se umjesto [inlmath]\cos x[/inlmath] uvrsti [inlmath]t[/inlmath], da usporedim, jer mi nikako ne ispadaju lijepi brojevi...