MATEMANIJA

Nekoliko primjera s ispita
[dispmath]f(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}[/dispmath]
1. Domena: [inlmath]\left<0,+\infty\right>[/inlmath]
2. Nultočke: [inlmath]x=e[/inlmath]
3. Asimptote: Vertikalna: [inlmath]x=0[/inlmath] (desna vertikalna), horizontalna [inlmath]y=0[/inlmath].
4. Prvi izvod:
[inlmath]f'(x)=\frac{x(2\ln x-3)}{x^4}[/inlmath]
5. Ekstremi
[inlmath]T_\mbox{min}\left(e^\frac{3}{2},-\frac{1}{2}e^{-3}\right)[/inlmath]
[inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath] nema
6. Intervali monotonosti
funkcija [inlmath]\left<-\infty,e^\frac{3}{2}\right>[/inlmath] pada, a raste od [inlmath]\left<e^\frac{3}{2},+\infty\right>[/inlmath]
7.Drugi izvod
[inlmath]f''(x)=\frac{x^4(-6\ln x+11)}{x^8}[/inlmath]
8. Točka infleksije:
Tinf [inlmath]\left(e^\frac{11}{6},-\frac{5}{6}e^\frac{-22}{6}\right)[/inlmath]
9. Intervali zakrivljenosti
[inlmath]\left<-\infty,e^\frac{11}{6}\right>[/inlmath] konkavna
[inlmath]\left<e^\frac{11}{6},+\infty\right>[/inlmath] konveksna

Ako je sve ovo točno, onda mogu postaviti i graf.

Ispričavam se što sam temu postavio u krivi podforum. Ili polukrivi

eseper je napisao:Nekoliko primjera s ispita
[dispmath]f(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}[/dispmath]
1. Domena: [inlmath]\left<0,+\infty\right>[/inlmath]
2. Nultočke: [inlmath]x=e[/inlmath]

eseper je napisao:3. Asimptote: Vertikalna: [inlmath]x=0[/inlmath] (desna vertikalna),

Jeste, desna vertikalna... Ali, svaki put zaboravljaš da napišeš da li je [inlmath]-\infty[/inlmath] ili [inlmath]+\infty[/inlmath], a to nije nebitno... Već sam ti ranije skrenuo pažnju da se to obavezno mora naglasiti... U ovom slučaju je [inlmath]+\infty[/inlmath].

eseper je napisao:horizontalna [inlmath]y=0[/inlmath].

eseper je napisao:4. Prvi izvod:
[inlmath]f'(x)=\frac{x(2\ln x-3)}{x^4}[/inlmath]

Pa skrati to sa [inlmath]x[/inlmath]... Dakle, [inlmath]f\:'\!\left(x\right)=\frac{2\ln x-3}{x^3}[/inlmath]

eseper je napisao:5. Ekstremi
[inlmath]T_\mbox{min}\left(e^\frac{3}{2},-\frac{1}{2}e^{-3}\right)[/inlmath]
[inlmath]T_\mbox{max}[/inlmath] nema
6. Intervali monotonosti
funkcija [inlmath]\left<-\infty,e^\frac{3}{2}\right>[/inlmath] pada, a raste od [inlmath]\left<e^\frac{3}{2},+\infty\right>[/inlmath]

eseper je napisao:7.Drugi izvod
[inlmath]f''(x)=\frac{x^4(-6\ln x+11)}{x^8}[/inlmath]

A ovo skratiš sa [inlmath]x^4[/inlmath]: [inlmath]f\:''\!\left(x\right)=\frac{-6\ln x+11}{x^4}[/inlmath]

eseper je napisao:8. Točka infleksije:
Tinf [inlmath]\left(e^\frac{11}{6},-\frac{5}{6}e^\frac{-22}{6}\right)[/inlmath]

To jest, [inlmath]\left(e^\frac{11}{6},-\frac{5}{6}e^\frac{-11}{3}\right)[/inlmath]. Večeras baš nešto ne voliš da skraćuješ.

eseper je napisao:9. Intervali zakrivljenosti
[inlmath]\left<-\infty,e^\frac{11}{6}\right>[/inlmath] konkavna
[inlmath]\left<e^\frac{11}{6},+\infty\right>[/inlmath] konveksna

Ja nisam sasvim načisto oko ove terminologije, bilo bi dobro da neko ko je siguran malo prokomentariše ovo. Ovako kako si ti napisao dobije se ako se konveksnost/konkavnost funkcije posmatra odozgo. Isto tako su i mene učili u školi / na fakultetu. Međutim, danas vidim na netu da se skoro svuda konveksnost/konkavnost funkcije posmatra odozdo, a u tom slučaju bi bilo obrnuto od ovog što si napisao.

eseper je napisao:Ako je sve ovo točno, onda mogu postaviti i graf.

Vozi, Miško...

eseper je napisao:Ispričavam se što sam temu postavio u krivi podforum. Ili polukrivi

Pa jes vala, zašto je staviti u ispravan potforum, kad može u pogrešan...
Premešteno.

Veliko hvala na provjeri

Što se tiče vertikalne, ma i meni je [inlmath]+\infty[/inlmath] i to sebi uredno na papiru sve napišem, ali ovdje redovno malo skratim.

Da, nisam baš skraćivao Ali bitno da je točno, lako za skraćivanje

Što se tiče intervala zakrivljenosti, mi radimo na onaj način posmatranja odozgo, tako da je valjda točno

Graf nije ništa kompliciran, od osi [inlmath]x[/inlmath] pada do minimuma u [inlmath]4.[/inlmath] kvadrantu, prolazeći kroz nultočku. Od minimuma naravno raste i u točki infleksije postaje konveksan i ide uz horizontalnu asimptotu.

Da se dopunim u vezi s onim skraćivanjem sa [inlmath]x[/inlmath]... Kod ove funkcije bez problema skraćujemo sa [inlmath]x[/inlmath], budući da ona u [inlmath]x[/inlmath] nije definisana.

Međutim, u slučaju kada [inlmath]x[/inlmath] pripada domenu funkcije, a u formuli za prvi izvod dobijemo da [inlmath]x[/inlmath] figuriše i u brojiocu i u imeniocu, tada prilikom skraćivanja moramo napomenuti da prvi izvod u [inlmath]x=0[/inlmath] nije određen, tj. da funkcija u toj tački nije diferencijabilna.

Isto važi i pri određivanju drugog izvoda.