MATEMANIJA

1. Odredite sve konačne skupove [inlmath]\mathbb{S}\subset\mathbb{R}[/inlmath] takve da je [inlmath](S,\cdot)[/inlmath] grupoid,gde je [inlmath]\cdot[/inlmath] množenje kompleksnih brojeva.
Interesuje me da li je pored skupova [inlmath]\{0\},\{0,1\},\{1\},\{1,-1\}[/inlmath] i skup [inlmath]\{0,1,-1\}[/inlmath] rešenje?

2. Neka je [inlmath]\mathbb{S}=\{(x,y)|x,y\in\mathbb{R}\}[/inlmath] skup svih uredjenih parova realnih brojeva. Definišimo operaciju [inlmath]*[/inlmath] pomoću jednakosti [inlmath](x,y)*(u,v)=(x+u,yv)[/inlmath]. Ispitati svojstva strukture [inlmath](S,*)[/inlmath].
Da li je resenje da je data struktura Abelova grupa ili sam ja nešto zeznuo?

1. Grupoid bi trebalo samo da zadovoljava uslov zatvorenosti, tako da je i [inlmath]\{0,1,-1\}[/inlmath] rešenje.
2. Struktura [inlmath](S,*)[/inlmath] zadovoljava uslove zatvorenosti, postojanja inverznog elementa, postojanja neutralnog elementa, asocijativnosti i komutativnosti, tako da je u pitanju Abelova grupa.

Hvala na odgovoru ,zbunjivala su me resenja u knjizi koja ocigledno nisu bila dobra

Zapravo, u 2. zadatku sam i ja mahinalno pomislio da jeste Abelova grupa, a tek sad, kad sam bolje pogledao, vidim da nije čak ni grupa, a pogotovo ne Abelova.

Ta struktura bi zaista bila grupa, i to Abelova, kada bi bilo zadato [inlmath]\mathbb{S}=\left\{\left(x,y\right)\:\left|\:x\in\mathbb{R},\;y\in\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}\right.\right\}[/inlmath].
Ali, pošto je zadata tako kako je zadata, parovi [inlmath]\left(x,0\right),\;x\in\mathbb{R}[/inlmath] neće imati svoj inverzan element, pa samim tim ova struktura nije grupa, već samo monoid.

Bogami, opasna zamka u koju se vrlo lako upadne.