MATEMANIJA

Neka su [inlmath]V[/inlmath] i [inlmath]W[/inlmath] vektorski prostori konacne dimenzije nad istim poljem [inlmath]K[/inlmath] i neka je [inlmath]L:\:V\to W[/inlmath] linearno preslikavanje. Ako je [inlmath]U[/inlmath] vektorski potprostor prostora [inlmath]V[/inlmath] i ako je linearno preslikavanje [inlmath]L_1:\:U\to W[/inlmath] definisano sa [inlmath]L_1(x)=L(x)[/inlmath] za svako [inlmath]x[/inlmath] iz [inlmath]U[/inlmath] dokazati:
a) [inlmath]\ker(L_1)=U\cap\ker(L)[/inlmath]
b) [inlmath]\dim\bigl(\text{im}(L_1)\bigr)+\dim(\ker(L))=\dim\bigl(U+\ker(L)\bigr)[/inlmath]
pod a) mi izgleda vrlo logicno [inlmath]\ker(L_1)=\{u\in U\mid L_1(u)=0\text{ tj }L(u)=0\}[/inlmath] po definiciji,a [inlmath]x\in(U\cap\ker L)[/inlmath] je svaki vektor koji zadovoljava uslove da je iz [inlmath]U[/inlmath] i da je [inlmath]L(x)=0[/inlmath] sto znaci da ova dva skupa sadrze iste clanove,je li ja propustam nesto i da li sam uopste na dobrom putu,ovo mi deluje nerealno lako ?

Tvoje resenje pod a) je dobro. Takodje, obicno kad imamo zadatak pod a) i pod b), onda se b) resava uz pomoc a) (ne uvek, ali skoro uvek). Posto ovde imamo neku jednakost sa dimenzijama obicno je resenje neka igra sabiranja i oduzimanja. Naime, prvo vidimo da imamo [inlmath]\dim(U+\ker L)[/inlmath]. Trebalo bi da ti je poznata formula (poznata kod nas i pod nazivom "Grasmanova formula") [inlmath]\dim A+\dim B=\dim(A+B)+\dim(A\cap B)[/inlmath]. Kada to primenimo u nasem konkretnom slucaju nalazimo [inlmath]\dim(U+\ker L)=\dim U+\dim(\ker L)-\dim(U\cap\ker L)=\dim U+\dim(\ker L)-\dim(\ker L_1)[/inlmath], gde smo iskoristili deo pod a). Dakle, mi bi zapravo trebalo da pokazemo formulu [inlmath]\dim(\text{im }L_1)+\dim(\ker L)=\dim U+\dim(\ker L)-\dim(\ker L_1)[/inlmath], odnosno [inlmath]\dim(\text{im }L_1)+\dim(\ker L_1)=\dim U[/inlmath]. Gornja formula je tacna, jer, setimo se da za svako linearno preslikavanje [inlmath]T\colon A\to B[/inlmath] vazi (trebalo bi da je pokazivano, teorema o rangu i defektu)[inlmath]\dim(\text{im }T)+\dim(\ker T)=\dim A[/inlmath]. Onda primenimo tu teoremu na linearano preslikavanje [inlmath]L_1\colon U\to W[/inlmath]. Kraj.