MATEMANIJA

Zadatak glasi odrediti komutativnu matricu date matrice [inlmath]A=\left[\begin{matrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{matrix}\right][/inlmath]. Uzeo sam proizvoljnu matricu [inlmath]X=\left[\begin{matrix}
x & y\\
z & w\\
\end{matrix}\right][/inlmath] dobio proizvode [inlmath]A\cdot X[/inlmath] i [inlmath]X\cdot A[/inlmath], izjednacio izraze [inlmath]a_{ij}[/inlmath] i [inlmath]b_{ij}[/inlmath] ali mi nije jasno kako se resava sistem jednacina, dobiju se tri jednacine sa 4 nepoznate.

U resenju se dobije matrica [inlmath]\left[\begin{matrix}
a & 2b\\
3b & a+3b\\
\end{matrix}\right][/inlmath].

U opstem slucaju matrice nisu komutativne – ali ima slucajeva kada vazi komutativnost, tj. [inlmath]A\cdot B=B\cdot A[/inlmath].

Otuda se ovde trazi da odredimo matricu [inlmath]X[/inlmath] za koju vazi [inlmath]A\cdot X=X\cdot A[/inlmath]. Date su nam vec dimenzije matrice [inlmath]A[/inlmath], i mozemo zakljuciti da je i matrica [inlmath]X[/inlmath] kvadratna matrica dimenzija [inlmath]2\times 2[/inlmath]. Neka je:
[dispmath]X=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right][/dispmath]
Treba da bude:
[dispmath]\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a & b \\ c & d \\ \end{matrix}\right]\cdot\left[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ \end{matrix}\right][/dispmath][dispmath]\left[\begin{matrix} a+2c & b+2d \\ 3a+4c & 3b+4d \\ \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} a+3b & 2a+4b \\ c+3d & 2c+4d \\ \end{matrix}\right][/dispmath]
Izjednacavanjem pojedinacnih clanova matrica dobije se sledece... Prvo, [inlmath]a+2c=a+3b[/inlmath], tj. [inlmath]c=\frac{3}{2}b[/inlmath]. To isto se dobije i iz [inlmath]3b+4d=2c+4d[/inlmath]. Preostale dve jednacine, [inlmath]b+2d=2a+4b[/inlmath] i [inlmath]3a+4c=c+3d[/inlmath] svodljive su jedna na drugu uz uslov [inlmath]c=\frac{3}{2}b[/inlmath], i iz njih dobijamo [inlmath]d=a+c=a+\frac{3}{2}b[/inlmath]

Otuda bi komutativna matrica date matrice bila:
[dispmath]X=\left[\begin{matrix} a & b \\ \frac{3b}{2} & \frac{2a+3b}{2} \\ \end{matrix}\right][/dispmath]
Ovo mozemo malo srediti... Kako mnozenje skalarom ne utice na komutativnost (ako vazi [inlmath]AB=BA[/inlmath] vazi i [inlmath]kAB=(kA)B=B(kA)[/inlmath]), mozemo dobijenu matricu da pomnozimo sa [inlmath]2[/inlmath], i dobijamo:
[dispmath]X=\left[\begin{matrix} 2a & 2b \\ 3b & 2a+3b \\ \end{matrix}\right][/dispmath]
E sad, to se za nijansu razlikuje od onog sto su oni dobili, ali se svodi upravo na to. Naime, posto je [inlmath]2a[/inlmath] konstanta, neki broj, i posto se samo kao takav pojavljuje u ovom zapisu, umesto toga mozemo da pisemo samo [inlmath]a[/inlmath]. I time dobijamo upravo ono resenje koje ti je dato:
[dispmath]X=\left[\begin{matrix} a & 2b \\ 3b & a+3b \\ \end{matrix}\right][/dispmath]

Okej, razumeo sam. Bilo mi je malo nejasno na pocetku, kako moze [inlmath]2a[/inlmath] da se zameni s [inlmath]a[/inlmath] ali skapirao sam na kraju. Hvala