MATEMANIJA

Da li moze pomoc oko ovog zadatka?

Potebno je odrediti rang matrice
[dispmath]\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 8\\
a & 8 & -2 & 5a-1\\
1 & -a & -2 & -2
\end{bmatrix}[/dispmath]
Nikako da je malo privedem kraju. Kako god da pocnem samo se zakomplikuje.
Hvala unapred!

Može pomoć, samo, prvo preciziraj šta tačno da ti pomognemo. Napiši to što si radila, kako bismo videli gde se „zakomplikovalo“.

Pravilnik, tačka 6.

Pokusala sam ovako:
1. da zamenim mesta prvom i trecem redu da bi jedinica bila na vrhu
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
a & 8 & -2 & 5a-1\\
2 & -1 & 0 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
ali time nista nisam uradila jer je parametar u prvoj koloni pa sam onda pokusala:
2. da zamenim mesta prvoj i trecoj koloni da bi mi parametar bio sto vise desno
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
-2 & 8 & a & 5a-1\\
0 & -1 & 2 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
2. da napravim nule u prvoj koloni
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -a-8 & 1-a & -5a-1\\
0 & -1 & 2 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
Ali ne znam sta dalje. Hvala.

DankaV je napisao:1. da zamenim mesta prvom i trecem redu da bi jedinica bila na vrhu
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
a & 8 & -2 & 5a-1\\
2 & -1 & 0 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
ali time nista nisam uradila jer je parametar u prvoj koloni

Ništa ne smeta što je parametar u prvoj koloni, primeniš elementarne transformacije radi svođenja na trougaonu formu (u prvom koraku od druge vrste oduzmeš prvu pomnoženu sa [inlmath]a[/inlmath], a od treće vrste oduzmeš prvu pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]),
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
a & 8 & -2 & 5a-1\\
2 & -1 & 0 & 8
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
0 & a^2+8 & 2a-2 & 7a-1\\
0 & 2a-1 & 4 & 12
\end{bmatrix}\sim[/dispmath][dispmath]\sim\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
0 & a^2+8 & 2a-2 & 7a-1\\
0 & 0 & 4-\frac{\left(2a-1\right)\left(2a-2\right)}{a^2+8} & 12-\frac{\left(2a-1\right)\left(7a-1\right)}{a^2+8}
\end{bmatrix}[/dispmath]
U poslednjem koraku je iskorišćena činjenica da ni za jedno realno [inlmath]a[/inlmath] izraz [inlmath]a^2+8[/inlmath] ne može biti jednak nuli, zbog čega je bilo dozvoljeno od treće vrste oduzeti drugu pomnoženu sa [inlmath]\frac{2a-1}{a^2+8}[/inlmath].
Kad poslednju matricu sredimo, dobijemo:
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -a & -2 & -2\\
0 & a^2+8 & 2a-2 & 7a-1\\
0 & 0 & \frac{6\left(a+5\right)}{a^2+8} & \frac{\left(a+5\right)\left(19-2a\right)}{a^2+8}
\end{bmatrix}[/dispmath]
Pošto znamo da je kod trougaone matrice njen rang jednak broju njenih ne-nula vrsta, a odavde vidimo da su prva i druga vrsta uvek ne-nula vrste, dok će treća biti nenula vrsta samo za [inlmath]a\ne -5[/inlmath], zaključujemo da je
[dispmath]\mathrm{rang}\begin{bmatrix}
2 & -1 & 0 & 8\\
a & 8 & -2 & 5a-1\\
1 & -a & -2 & -2
\end{bmatrix}=\begin{cases}
2, & a=-5\\
3, & a\ne -5
\end{cases}[/dispmath]

DankaV je napisao:pa sam onda pokusala:
2. da zamenim mesta prvoj i trecoj koloni da bi mi parametar bio sto vise desno
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
-2 & 8 & a & 5a-1\\
0 & -1 & 2 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
2. da napravim nule u prvoj koloni
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -a-8 & 1-a & -5a-1\\
0 & -1 & 2 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath]
Ali ne znam sta dalje. Hvala.

Možeš i to, primenom elementarnih transformacija, svesti na trougaonu formu:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -a-8 & 1-a & -5a-1\\
0 & -1 & 2 & 8
\end{bmatrix}\sim\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -1 & 2 & 8\\
0 & -a-8 & 1-a & -5a-1
\end{bmatrix}\sim[/dispmath][dispmath]\sim\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -1 & 2 & 8\\
0 & 0 & 1-a+2\left(-a-8\right) & -5a-1+8\left(-a-8\right)
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
-2 & -a & 1 & -2\\
0 & -1 & 2 & 8\\
0 & 0 & -3\left(a+5\right) & -13\left(a+5\right)
\end{bmatrix}[/dispmath]
odakle opet zaključujemo da će rang biti [inlmath]2[/inlmath] ako je [inlmath]a=-5[/inlmath], u protivnom rang će biti [inlmath]3[/inlmath].

---

Ali, imaš i, po meni, dosta lakši način. Znamo da je rang neke matrice jednak redu njene maksimalne regularne podmatrice. Pošto u datoj matrici odmah možemo uočiti, recimo, podmatricu [inlmath]\begin{bmatrix}
2 & 0\\
1 & -2
\end{bmatrix}[/inlmath], a ona jeste regularna i reda je [inlmath]2[/inlmath], to znači da rang date matrice mora biti [inlmath]\ge 2[/inlmath]. A pošto znamo da za rang neke matrice [inlmath]A_{m\times n}[/inlmath] važi [inlmath]\mathrm{rang}\:A_{m\times n}\le\min\left(m,n\right)[/inlmath], rang ove matrice, koja je dimenzija [inlmath]3\times 4[/inlmath], mora biti [inlmath]\le 3[/inlmath]. Prema tome, ostaju [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]3[/inlmath] kao moguće vrednosti za rang ove matrice.

Da bismo ispitali za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] će rang ove matrice biti [inlmath]3[/inlmath], treba da ispitamo za koje vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] će postojati podmatrica reda [inlmath]3[/inlmath] koja je regularna. Kada takva podmatrica postoji, rang je [inlmath]3[/inlmath], a u suprotnom, tj. kada su sve podmatrice reda [inlmath]3[/inlmath] singularne, rang je [inlmath]2[/inlmath]. Pošto takvih podmatrica reda [inlmath]3[/inlmath] ima ukupno četiri, to i nije neki veliki posao uraditi. Za determinantu svake od tih podmatrica dobiće se da sadrži faktor [inlmath]\left(a+5\right)[/inlmath], tj. da će svaka od tih podmatrica reda [inlmath]3[/inlmath] biti singularna onda kada je [inlmath]a=-5[/inlmath], što, opet, znači da će tada rang biti [inlmath]2[/inlmath]. U suprotnom, kada je [inlmath]a\ne -5[/inlmath], rang će biti [inlmath]3[/inlmath].

Hvala puno!

NIsam znala da sme da se mnozi sa parametrom pa zato nisam uspela da dovrsim svodjenjem na stepenice.
Ovaj drugi nacin, vezan za podmatrice, ne razumem bas najbolje, sad cu malo da razmotrim to.

Hvala na detaljnom objasnjenju!