MATEMANIJA

[inlmath]\quad[/inlmath]Verujte mi da ovaj uvodni citat ima veze sa zadatkom. Jedan tužni dečko pogleda krotkog, budući brucoš, sprema prijemni ispit za jedan tehnički fakultet i zaglavio se kod prošlogodišnjeg zadatka:


[inlmath]\quad[/inlmath]Dečko je tužan sa razlogom. Želi da pristupi forumu Matemanija, ali se stidi. Naime, pročitao je pravilnik i zna da ne može tek tako da postavi zadatak i zamoli za pomoć, već treba da pokuša da ga uradi, da taj svoj postupak postuje i tako dalje... Pri tome je načuo za nekakav Bezuov stav i njegove posledice ali... Ne zna da ga primeni. Pomislio je da će se forumaši sažaliti ako bude pokazao trud. Elem, počeo je da deli:
[dispmath]\left(x^{2014}+x^{2013}+ax+b\right):\left(x^2-1\right)=x^{2012}+x^{2011}+x^{2010}+x^{2009}+x^{2008}+x^{2007}+x^{2006}+x^{2005}+\cdots[/dispmath]
[inlmath]\quad[/inlmath]Da se razumemo, pisao je on i ono potpisivanje ispod, ali ja sam to izostavio, ne želeći da testiram vaše strpljenje. Računao je da će kad-tad stići do [inlmath]x^3,\;x^2,\;x[/inlmath] i da onda ostaje ostatak koji (valjda) zavisi od [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. I koji je jednak nuli. E, onda će lako naći [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. A ako ne uspe tada da ih nađe, nastaviće sa ovim, makar dobio i negativne stepene od [inlmath]x[/inlmath]. Jeste tužan, ali je uporan. Molim forumaše da pomognu budućem brucošu jer kako je krenuo uskoro će stići do godine kada je Hanibal bio pred vratima Rima.
p.s. Molim @Daniel da ne rešava ovaj zadatak

Meni padaju na pamet dva nacina.
I nacin
Nule polinoma [inlmath]Q(x)[/inlmath] su i nule polinoma [inlmath]P(x)[/inlmath] pa se dobija da je [inlmath]a=b=-1[/inlmath].
II nacin
Ukoliko preskocimo 2000 i nesto koraka na kraju ce ispod [inlmath]P(x)[/inlmath] napisati [inlmath]x^3+x^2+ax+b[/inlmath] a potom [inlmath]x^2+x(a+1)+b[/inlmath] i na kraju ce ostatak biti [inlmath]x(a+1)+b+1[/inlmath] a kako je [inlmath]P(x)[/inlmath] deljivo sa [inlmath]Q(x)[/inlmath] [inlmath]a+1=0\;\land\;b+1=0[/inlmath]. Ima li nade?

Ima, ima...

Pretpostavljam da je @desideri ovaj zadatak s razlogom stavio u „Linearnu algebru“, jer planira da nas obraduje nekim načinom rešavanja preko matrica, determinanti ili nešto slično... A pre toga, dodao bih da, osim prethodna dva, postoji bar još jedan (koji meni pada na pamet) način rešavanja pomoću polinoma. Pa, ako 'oće neko...

Naš budući brucoš više nije tužan, zahvaljujući @Stefanowsky.
Oba navedena načina su dobra a rešenje tačno. Po mom mišljenju elegantniji je prvi način od dva koja je @Stefanowsky pokazao.
Ne znam na koji način misli @Daniel, koji je u pravu u smislu da sam namerno ovo stavio u "Linearnu algebru" mada svakako spada i pod "Polinome". Hteo sam da probam da uradim zadatak preko Vandermondove determinante. Mislim da može i tako. Potrudiću se, pa vam javljam. Još bolje bi bilo da me neko pretekne.

Evo da pokažem onda i ja taj svoj, treći način (koji, zapravo, donekle i liči na drugi način koji je Stefanowsky izložio).

Polinom [inlmath]P\left(x\right)=x^{2014}+x^{2013}+ax+b[/inlmath] napišemo na sledeći način:
[dispmath]P\left(x\right)=x^{2014}+x^{2013}+x^{2012}+x^{2011}+\cdots+x^4+x^3+x^2+x+1+ax+b-\\
-x^{2012}-x^{2011}-x^{2010}-x^{2009}-\cdots-x^2-x-1[/dispmath][dispmath]P\left(x\right)=x^{2012}\left(x^2-1\right)+x^{2011}\left(x^2-1\right)+x^{2010}\left(x^2-1\right)+x^{2009}\left(x^2-1\right)+\\
+\cdots+x^2\left(x^2-1\right)+x\left(x^2-1\right)+\left(x^2-1\right)+\left(a+1\right)x+\left(b+1\right)[/dispmath][dispmath]P\left(x\right)=\left(x^2-1\right)\left(x^{2012}+x^{2011}+x^{2010}+x^{2009}+\cdots+x^2+x+1\right)+\left(a+1\right)x+\left(b+1\right)[/dispmath]
Iz prethodnog izraza vidimo da, pošto je polinom [inlmath]\left(a+1\right)x+\left(b+1\right)[/inlmath] manjeg stepena od polinoma [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath], to će on predstavljati ostatak pri deljenju polinoma [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] polinomom [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath]. Pošto po uslovu zadatka polinom [inlmath]P\left(x\right)[/inlmath] mora biti deljiv polinomom [inlmath]\left(x^2-1\right)[/inlmath], to znači da polinom [inlmath]\left(a+1\right)x+\left(b+1\right)[/inlmath] mora biti nula-polinom, tj. [inlmath]a+1=0[/inlmath] i [inlmath]b+1=0[/inlmath].

Ali, definitivno se slažem da je prvi način koji je Stefanowsky pokazao – najelegantniji.