MATEMANIJA

Da pitam kako se sistem resava primenom Kroneker-Kapelijeve teoreme. Ne mogu nigde da nadjem neko detaljnije pojasnjenje. Znam samo da se postavlja matrica sistema i prosirena matrica sistema. E sad, na sta to treba da se svede?

Npr. ako imamo sistem:
[dispmath]4x+3y-3z=5[/dispmath][dispmath]3x+2y-4z+t=7[/dispmath][dispmath]x-y+2z-5t=-3[/dispmath][dispmath]-2x+y+2z+5t=-3[/dispmath]
dobijamo matricu sistema
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
4 & 3 & -3 & 0\\
3 & 2 & -4 & 1\\
1 & -2 & 3 & -5\\
-2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}[/dispmath]
i prosirenu matricu sistema
[dispmath]\overline{A}=\left[\begin{array}{cccc|c}
4 & 3 & -3 & 0 & 5\\
3 & 2 & -4 & 1 & 7\\
1 & -2 & 3 & -5 & -3\\
-2 & 1 & 2 & 5 & -3\\
\end{array}\right][/dispmath]

Prvo, imaš grešku u matrici sistema,

Ilija je napisao:[dispmath]A=\begin{bmatrix}
4 & 3 & -3 & 0\\
3 & 2 & -4 & 1\\
1 & {\color{red}-2} & {\color{red}3} & -5\\
-2 & 1 & 2 & 5\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

a, samim tim, i u proširenoj matrici sistema.

Potrebno je da se, primenom elementarnih transformacija, prvo svede na trougaonu formu, a nakon toga je lako svesti i na dijagonalnu, iz koje jednostavno možeš očitati koju vrednost ima koja promenljiva.
Možeš pogledati ovu temu, tamo smo o tome govorili detaljnije.

Da razjasnimo odmah nešto: sistem [inlmath]m[/inlmath] linearnih jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih ne rešava se primenom teoreme Kroneker-Kapelija. Evo i formalnog iskaza teoreme:

Sistem [inlmath]m[/inlmath] linearnih jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih je saglasan akko (ako i samo ako – ekvivalencija u logici) matrica sistema i proširena matrica sistema imaju isti rang. Ako je taj rang jednak broju nepoznatih [inlmath]n[/inlmath], sistem ima tačno jedno rešenje. Ako je taj rang manji od broja nepoznatih, sistem ima beskonačno mnogo rešenja.

Dakle, ova teorema služi samo za diskusiju sistema linearnih jednačina, ne i za njegovo rešavanje. U zadacima se najčešće koristi kada je zadat parametar (parametri) u sistemu jednačina, i može se primeniti i za "pravougaone" sisteme (kada [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] nisu isti) a ne samo za kvadratne ([inlmath]m=n[/inlmath]) gde se može raditi i preko determinanti (Kramerovom teoremom).

Inače, ovo je zadatak sa jednog kolokvijuma koji kaže rešiti sistem jednačina primenom Kroneker-Kapelijeve teoreme, Kramerovim pravilom ili matričnom metodom. Posmislio sam da bi ovaj način bio najelegantniji za rešavanje, pošto se kod ostala dva dobije mnogo determinanti za računanje.

Ponavljam: Nemoguće je bilo koji sistem linearnih jednačina rešiti primenom teoreme Kroneker–Kapelija.
Može se samo diskutovati sistem. U ovom slučaju nađe se da je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema i iznosi [inlmath]4[/inlmath].
To znači da sistem ima jedinstveno rešenje. Ja sam ga potom rešio matričnom metodom:
[dispmath]AX=B\\
X=A^{-1}B\\
X=\begin{bmatrix}
2\\
-2\\
-1\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath]
Za proveru tačnosti rešenja može se koristiti Excel. Na način izložen u linkovanoj temi sistem se rešava za oko [inlmath]30[/inlmath] sekundi.
Naravno da je moguće rešiti sistem i na način koji je pokazao Daniel (to je i najbrži i najelegantniji metod za "ručni" rad) ali to nije rešavanje primenom teoreme Kroneker–Kapelija.