MATEMANIJA

Recimo da imamo komutativnu grupu [inlmath]G[/inlmath] koja je zadataka generatorima i relacijama. Dobijemo da je njena normalna forma: [inlmath]Z_2\times Z_6\times Z_{12}[/inlmath], a elementarna forma: [inlmath]Z_2\times Z_2\times Z_{2^2}\times Z_3\times Z_3[/inlmath]. Treba odrediti koliko ima elemenata reda [inlmath]12[/inlmath]. Da li bi neko mogao da mi pomogne? Ja sam izracunao ovako: [inlmath]2\cdot2\cdot(4-1)\cdot(9-1)=96[/inlmath], da li mi je racunica u redu?

Skoro pa da je tacno. Mozda si to mogao i da pretpostavis, jer "izgleda" malo mnogo da u grupi od [inlmath]144[/inlmath] elementa njih [inlmath]96[/inlmath] ima red [inlmath]12[/inlmath]. Al hajdemo redom (mada verujem da ti je sve ovo sto sledi poznato u vecoj meri).

Obelezimo sa [inlmath]B(n,G)[/inlmath] broj elemenata reda [inlmath]n[/inlmath] u grupi [inlmath]G[/inlmath]. Tada ako je [inlmath]G[/inlmath] Abelova grupa i ako su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] uzajamno prosti brojevi vazi [inlmath]B(mn,G)=B(m,G)B(n,G)[/inlmath]. U nasem slucaju je [inlmath]n=12=2^2\cdot3[/inlmath], pa je [inlmath]B(12,G)=B(4,G)B(3,G)[/inlmath]. Takodje, ako su [inlmath]m[/inlmath] i [inlmath]|G_2|[/inlmath] uzajamno prosti (gde sa [inlmath]|G_2|[/inlmath] oznacavamo broj elemenata grupe [inlmath]G_2[/inlmath]) tada je [inlmath]B(m,\;G_1\times G_2)=B(m,G_1)[/inlmath]. Zato iz [inlmath]G=Z_2\times Z_2\times Z_{2^2}\times Z_3\times Z_3[/inlmath] nalazimo da je [inlmath]B(4,G)=B(4,\;Z_2\times Z_2\times Z_{2^2})[/inlmath] i [inlmath]B(3,G)=B(3,\;Z_3\times Z_3)[/inlmath]. Nije tesko videti da je [inlmath]B(4,\;Z_2\times Z_2\times Z_{2^2})=|Z_2|\cdot|Z_2|\cdot B(4,Z_{2^2})=2\cdot2\cdot\varphi\left(2^2\right)=2\cdot2\cdot2=8[/inlmath], jer vazi [inlmath]B(n,Z_n)=\varphi(n)[/inlmath] gde je [inlmath]\varphi[/inlmath] Ojlerova funkcija. Takodje, kako su svi elementi bez neutrala u [inlmath]Z_3\times Z_3[/inlmath] reda [inlmath]3[/inlmath], to je [inlmath]B(3,\;Z_3\times Z_3)=9-1=8[/inlmath]. Zato je konacno [inlmath]B(12,G)=8\cdot8=64[/inlmath].

Hvala puno na pomoci, hteo bih samo da proverim da li sam skroz razumeo kroz dva primera:

1.Br. elem. reda [inlmath]12[/inlmath] u: [inlmath]Z_{2^2}\times Z_{2^2}\times Z_{2^2}\times Z_3\times Z_3[/inlmath]

[inlmath]B(4,\;Z_{2^2}\times Z_{2^2}\times Z_{2^2})=\varphi\left(2^2\right)\cdot\varphi\left(2^2\right)\cdot\varphi\left(2^2\right)=8,\;B(3,\;Z_3\times Z_3)=9-1=8[/inlmath], konacno je [inlmath]64[/inlmath] elemenata reda [inlmath]12[/inlmath]?

2. Br. elem. reda [inlmath]12[/inlmath] u: [inlmath]Z_2\times Z_{2^3}\times Z_{2^4}\times Z_3[/inlmath]

[inlmath]B(4,\;Z_2\times Z_{2^3}\times Z_{2^4})=2\cdot\varphi\left(2^3\right)\cdot\varphi\left(2^4\right)=2\cdot4\cdot8=64,\;B(3,\;Z_3)=3-1=2[/inlmath], konacno je [inlmath]128[/inlmath] elemenata reda [inlmath]12[/inlmath]?

Nije to dobro. Cini mi se da malo mehanicki radis zadatke. Preporucujem ti da jos jedno dobro pogledas kako je radjeno na vezbama. Potrudi se da to razumes, jer ces verovatno na ispitu imati slicne zadatke, tj. neke varijaci zadataka uradjenih na vezbama.

Zadrzacu se na prvom primeru. [inlmath]B(3,G)[/inlmath] je dobro odredjeno, i to je bio laksi deo. Za elemente reda [inlmath]4[/inlmath]: mozes "lako" da nadjes u [inlmath]Z_4\times Z_4\times Z_4[/inlmath] koji su to elementi reda [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath], pa ces elemente reda [inlmath]4[/inlmath] dobiti kad od ukupnog broja elemenata u [inlmath]Z_4\times Z_4\times Z_4[/inlmath] oduzmes one elemente koji nisu reda [inlmath]4[/inlmath] (tj. one koji su reda [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]). I sad izlistas elemente reda [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]2[/inlmath]. Jedini element reda [inlmath]1[/inlmath] je ocito neutral, odnosno [inlmath](0,0,0)[/inlmath]. Elementi reda [inlmath]2[/inlmath] su [inlmath](0,0,2)[/inlmath], [inlmath](0,2,0)[/inlmath], [inlmath](2,0,0)[/inlmath], [inlmath](0,2,2)[/inlmath], [inlmath](2,0,2)[/inlmath], [inlmath](2,2,0)[/inlmath] i [inlmath](2,2,2)[/inlmath] (ne smes da imas nigde [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]3[/inlmath], jer ce onda takav element biti reda [inlmath]4[/inlmath]), odnosno imas [inlmath]7[/inlmath] takvih elementa. Zato u [inlmath]Z_4\times Z_4\times Z_4[/inlmath] imas [inlmath]4\cdot4\cdot4-(1+7)=56[/inlmath] elemenata reda [inlmath]4[/inlmath].

Mogao si to da vidis i na drugaciji nacin. Naime, elementi reda [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] se nalaze u [inlmath]Z_4\times Z_4\times Z_4[/inlmath], dok se elementi reda [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath] nalaze u podgrupi izomorfnoj [inlmath]Z_2\times Z_2\times Z_2[/inlmath], pa je ukupan broj elementara reda [inlmath]4[/inlmath] jednak [inlmath]4\cdot4\cdot4-2\cdot2\cdot2=56[/inlmath].

Recimo da si imao [inlmath]Z_2\times Z_{2^2}\times Z_{2^4}[/inlmath] (primetiti da u ovoj grupi elementi mogu imati redove [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath], [inlmath]4[/inlmath], [inlmath]8[/inlmath] i [inlmath]16[/inlmath]) i da ponovo trazimo broj elemenata reda [inlmath]4[/inlmath]. Tada se elementi reda [inlmath]1[/inlmath], [inlmath]2[/inlmath] ili [inlmath]4[/inlmath] nalaze u podgrupi izomorfnoj sa [inlmath]Z_2\times Z_{2^2}\times Z_{2^2}[/inlmath], dok se elementi reda [inlmath]1[/inlmath] ili [inlmath]2[/inlmath] nalaze u podgrupi izomorfnoj sa [inlmath]Z_2\times Z_2\times Z_2[/inlmath]. Zato je [inlmath]B(4,\;Z_2\times Z_{2^2}\times Z_{2^4})=2\cdot4\cdot4-2\cdot2\cdot2=24[/inlmath].

Hvala ti jos jednom na pomoci, i na vremenu utrosenom da mi objasnis ovako detaljno. Zaista mi je pomoglo. Da li bi mogao da mi pomognes oko jos jednog tipa zadatka? Koliko ima elemenata reda [inlmath]10[/inlmath] u grupi [inlmath]S_9[/inlmath]?