Sistem linearnih jednačina i linearna zavisnost
Poslato: Petak, 25. Decembar 2015, 14:24Ćao!
Molim vas da mi pomognete da shvatim jedan dokaz.
Zadnji dio dokaza jedne leme o vezi sistema linearnih jednačina i linearne zavisnosti mi pravi problem. Takođe, sada će i Lateh da mi napravi problem! Lema je sledeća:
Neka su [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}^n[/inlmath] vektori. Ako prilikom rješavanja sistema [inlmath][\alpha_1\cdot a_1+\alpha_2\cdot a_2+\cdots+\alpha_m\cdot a_m=0]\;(1)[/inlmath], bez umanjenja opštosti, dobijemo da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, onda je [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] maksimalan linearno nezavisan podniz datog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m[/inlmath].
Dokaz ide ovako:
Pretpostavimo suprotno, da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, a [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] linearno nezavisni vektori. Tada slijedi da postoji [inlmath]\left(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k\right)\in\mathbb{R}^k\setminus\left\{\vec0\right\}[/inlmath], tako da je [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\beta_2\cdot b_2+\cdots+\beta_k\cdot b_k=0[/inlmath].
Očigledno, sada važi i: [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\cdots+\beta_k\cdot b_k+0\cdot a_{k+1}+\cdots+0\cdot a_m=0[/inlmath].
Takođe, može se primijetiti da se opšte rješenje sistema [inlmath](1)[/inlmath] može napisati kao:
[dispmath]\alpha_1=\delta_{k+1}^1\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^1\cdot\alpha_m\\
\alpha_2=\delta_{k+1}^2\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^2\cdot\alpha_m\\
\vdots\\
\alpha_k=\delta_{k+1}^k\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^k\cdot\alpha_m,[/dispmath]
za neke [inlmath]\delta_j^i,\;1\le i\le k,\;k+1\le j\le m[/inlmath].
Do ovde mi je sve jasno. Onda se u dokazu kaže:
Neka je [inlmath]\beta_e\ne0[/inlmath], onda se iz [inlmath](2)[/inlmath] (što su opšta rješenja sistema [inlmath](1)[/inlmath]) dobija, [inlmath]\beta_l=\delta_{k+1}^l\cdot 0+\cdots+\delta_n^k\cdot0=0[/inlmath], što je kontradikcija. I to je cio dokaz.
Sada, ja shvatam da moramo pretpostaviti da je jedan od beta različit od nule, i da ga moramo posmatrati kako bi odatle dobili da su sve bete jednake nuli, ali ne znam kako je dobijena [inlmath]\beta_l[/inlmath]. Može biti i da sam ja pogrešno prepisao dokaz sa table (ako jesam onda je to zadnja rečenica), pa sam zbunjen nelogičnom oznakom.
Čestitam Božić svim forumašima koji ga danas proslavljaju.
Molim vas da mi pomognete da shvatim jedan dokaz.
Zadnji dio dokaza jedne leme o vezi sistema linearnih jednačina i linearne zavisnosti mi pravi problem. Takođe, sada će i Lateh da mi napravi problem! Lema je sledeća:
Neka su [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m\in\mathbb{R}^n[/inlmath] vektori. Ako prilikom rješavanja sistema [inlmath][\alpha_1\cdot a_1+\alpha_2\cdot a_2+\cdots+\alpha_m\cdot a_m=0]\;(1)[/inlmath], bez umanjenja opštosti, dobijemo da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, onda je [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] maksimalan linearno nezavisan podniz datog niza [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_m[/inlmath].
Dokaz ide ovako:
Pretpostavimo suprotno, da su [inlmath]\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k[/inlmath] zavisno promjenljive, a [inlmath]a_1,a_2,\ldots,a_k[/inlmath] linearno nezavisni vektori. Tada slijedi da postoji [inlmath]\left(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_k\right)\in\mathbb{R}^k\setminus\left\{\vec0\right\}[/inlmath], tako da je [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\beta_2\cdot b_2+\cdots+\beta_k\cdot b_k=0[/inlmath].
Očigledno, sada važi i: [inlmath]\beta_1\cdot b_1+\cdots+\beta_k\cdot b_k+0\cdot a_{k+1}+\cdots+0\cdot a_m=0[/inlmath].
Takođe, može se primijetiti da se opšte rješenje sistema [inlmath](1)[/inlmath] može napisati kao:
[dispmath]\alpha_1=\delta_{k+1}^1\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^1\cdot\alpha_m\\
\alpha_2=\delta_{k+1}^2\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^2\cdot\alpha_m\\
\vdots\\
\alpha_k=\delta_{k+1}^k\cdot\alpha_{k+1}+\cdots+\delta_m^k\cdot\alpha_m,[/dispmath]
za neke [inlmath]\delta_j^i,\;1\le i\le k,\;k+1\le j\le m[/inlmath].
Do ovde mi je sve jasno. Onda se u dokazu kaže:
Neka je [inlmath]\beta_e\ne0[/inlmath], onda se iz [inlmath](2)[/inlmath] (što su opšta rješenja sistema [inlmath](1)[/inlmath]) dobija, [inlmath]\beta_l=\delta_{k+1}^l\cdot 0+\cdots+\delta_n^k\cdot0=0[/inlmath], što je kontradikcija. I to je cio dokaz.
Sada, ja shvatam da moramo pretpostaviti da je jedan od beta različit od nule, i da ga moramo posmatrati kako bi odatle dobili da su sve bete jednake nuli, ali ne znam kako je dobijena [inlmath]\beta_l[/inlmath]. Može biti i da sam ja pogrešno prepisao dokaz sa table (ako jesam onda je to zadnja rečenica), pa sam zbunjen nelogičnom oznakom.
Čestitam Božić svim forumašima koji ga danas proslavljaju.