MATEMANIJA

Prije nego što započnem temu, molim administratore da, ako je moguće, postave sledeći izraz u naslov: [inlmath]\{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath].

Sada da pređem na stvar. Dakle, interesuje me ako bih mogao da dobijem pojašnjenje rješenja sljedećeg zadatka:

Dokazati da je skup [inlmath]E = \{ e^{ax} : a \in \mathbb{R} \}[/inlmath] linearno nezavisan niz vektora iz [inlmath]C(\mathbb{R})[/inlmath] (Skup svih neprekidnih funcija na [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]. Ne znam da li se ovdje koristi neko drugo "c" za ovaj skup.).

Što se tiče rješenja, mene malčice zbunjuje samo početak, koji glasi:

Skup E je skup linearno nezavisnih vektora akko je za sve [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i sve [inlmath]a_1, a_2, ..., a_k \in \mathbb{R}[/inlmath], (gdje bez umanjenja opštosti može da se uzme da je [inlmath]a_1 < a_2 < ... < a_k[/inlmath]) niz [inlmath]\{e^{a_1x}, e^{a_2x}, ..., e^{a_kx}\}[/inlmath] linearno nezavisan.

Dakle, ja znam da ako je neki niz vektora linearno nezavisan, onda je i svaki podniz tog niza, takođe linerno nezavisan niz vektora, te da se u rješenju gornjeg zadatka želi dokazati linearna nezavisnost proizvoljnog podskupa skupa E. Međutim, kako je [inlmath]a \in \mathbb{R}[/inlmath], a [inlmath]k \in \mathbb{N}[/inlmath], i kako ne postoji bijekcija između ta dva skupa brojeva, da li se pomoću proizvoljnog prirodnog broja može predstaviti proizvoljan podskup skupa E (Mislim da se može uspostaviti bijekcija između E i [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath].), tj. da li prirodan broj može biti kardinal proizvoljnog podskupa skupa čiji je kardinalni broj jednak kardinalu od [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath]? (Valjda je jasno šta me muči, a ako nije zatražite dodatna objašnjenja.)

Da, to je oznaka koja se obicno koristi za prostor neprekidnih funkcija iz [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] (mada se obicno gleda slucaj da slikamo u [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], no dobro).

Ja bih te podsetio da beskonacan skup [inlmath]S \subseteq V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo taj neki vektorski prostor gde sve posmatramo) je linearno nezavisan (po definiciji) ako i samo ako je svaki konacan podskup (dakle, kardinalnosti [inlmath]n[/inlmath], za neko [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath]) [inlmath]T[/inlmath] od [inlmath]S[/inlmath] linearno nezavisan ([inlmath]T[/inlmath] linearno nezavisan).

Mi ovde svakako imamo takvu situaciju, jer je [inlmath]|E| = \mathfrak{c}[/inlmath] (kardinalnost od [inlmath]E[/inlmath] je kontinuum). Konkretno kod nas je [inlmath]V = C(\mathbb{R})[/inlmath], [inlmath]S=E[/inlmath], a primer proizvoljnog konacanog skup [inlmath]T[/inlmath] je svakako taj skup koji si napisao (mislim na [inlmath]\{e^{a_1 x}...\}[/inlmath]). Ako pokazemo za proizvoljan podskup, onda smo pokazali i za svaki.

Prije svega, hvala na odgovoru! Sad je taj problem riješen.

Onomatopeja je napisao:Ja bih te podsetio da beskonacan skup [inlmath]S \subseteq V[/inlmath] (gde je [inlmath]V[/inlmath] recimo taj neki vektorski prostor gde sve posmatramo) je linearno nezavisan (po definiciji) ako i samo ako je svaki konacan podskup (dakle, kardinalnosti [inlmath]n[/inlmath], za neko [inlmath]n \in \mathbb{N}[/inlmath]) [inlmath]T[/inlmath] od [inlmath]S[/inlmath] linearno nezavisan ([inlmath]T[/inlmath] linearno nezavisan).

Ja sam napisao u prethodnom postu da znam da je niz vektora linearno nezavisan ako mu je linearno nezavisan svaki njegov podniz, ali ovu definiciju o odnosu linearne zavisnosti beskonačnog skupa i njegovih konačnih podskupova nisam znao. Linearnu algebru učim iz knjige ˝Elementi linearne algebre˝, čiji su autori Zoran Stojaković i Ivica Bošnjak i tu nema takve definicije, već samo ova u kojoj se koristi pojam "niz vektora". Možda tvrdnja koju sam citirao slijedi iz ove definicije koju ja već znam, ali mi uopšte nije padalo na pamet da bi se mogli diskutovati ovakvi slučajevi (Nisam neki vrli matematičar, ako mi je to olakšavna okolnost. ). Hvala još jednom! Ide pohvala!