MATEMANIJA

Kaze zadatak ovako:
U zavisnosti od realnih parametara [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] diskutovati i resiti sistem jednacina:
[dispmath]−x+(a−2)y+az+(a+1)u=1\\
ax+(a−2)y+az−u=b\\
ax+(a−2)y−z+au=c[/dispmath] I sada kada taj sistem transformisem dobijem ovaj:

[inlmath](a−2)y−x+az+(a+1)u=1\\
(a+1)x−(a+2)u=b−1\\
−(a+1)z+(a+1)u=c−b[/inlmath]

Treba da odredim za koje vrednosti je taj sistem odredjen, za koje neodredjen (jednostruko, dvostruko), a za koje je kontradiktoran. Medjutim nisu mi najjasniji ti pojmovi i zbog toga ne mogu da nastavim sa resavanjem. U knjizi je objasnjeno ali ne najjasnije.
Kontradiktoran je kada nema resenja.
Odredjen kada ima tacno jedno resenje ali da li je to po svim promenjivim? (Znaci jedno resenje za [inlmath]x[/inlmath], za [inlmath]y[/inlmath]...).
Sta bi bilo neodredjen?
Koje vrednosti parametara da ispitujem?
I ako je neko toliko ljubazan da odradi zadatak do kraja?
Unapred sam zahvalan

Sistem je određen onda kada je za svaku nepoznatu moguće jednoznačno odrediti njenu vrednost. U slučaju kada postoji bar jedna promenljiva sistema za koju nije moguće naći jednoznačnu vrednost, tada je sistem neodređen.
Da bi sistem bio određen, neophodan (ali ne i dovoljan) uslov je da broj jednačina sistema bude najmanje onoliki koliki je i broj nepoznatih. Ako je broj jednačina manji od broja nepoznatih, tada sistem nikako ne može biti određen (može biti ili neodređen ili kontradiktoran).
Ako je ispunjen uslov da je broj jednačina sistema veći (ili jednak) broju nepoznatih, tada sistem može biti određen, neodređen, ili kontradiktoran.

---

Primer neodređenog sistema bio bi:
[dispmath]5x+2y=3\\
15x+6y=9[/dispmath] jer druga jednačina, deljenjem sa [inlmath]3[/inlmath], postaje identična prvoj jednačini,
[dispmath]5x+2y=3\\
5x+2y=3[/dispmath] tako da tada faktički imamo samo jednu (ponovljenu) jednačinu a dve nepoznate.
Uostalom, oduzimanjem jedne jednačine od druge dobili bismo [inlmath]0=0[/inlmath], što je neodređen oblik.
Ovo bi bio primer jednostruko neodređenog sistema, jer je kod njega jednu nepoznatu moguće izraziti preko druge: [inlmath]x=\frac{3-2y}{5}[/inlmath] ili [inlmath]y=\frac{3-5x}{2}[/inlmath].
Uopšte, kada je u neodređenom sistemu moguće jednu nepoznatu fiksirati i sve ostale nepoznate izraziti preko te jedne, tada je taj sistem jednostruko neodređen.
Kada to nije moguće, već je potrebno fiksirati dve nepoznate, a preostale nepoznate sistema izraziti preko te dve nepoznate, tada je taj sistem dvostruko neodređen.

---

Sistem je kontradiktoran onda kada dobiješ da su dve očigledno različite vrednosti – međusobno jednake. Evo na konkretnom primeru:
[dispmath]5x+2y=7\\
5x+2y=3[/dispmath] Očigledno je da je ovaj sistem kontradiktoran, jer su leve strane obe jednačine međusobno jednake, a desne nisu. Kada bi od prve jednačine oduzeo drugu, dobio bi [inlmath]0=4[/inlmath], što je kontradiktornost sama po sebi.

U opštem slučaju, kada u sistemu jednačina dobiješ dve jednačine oblika
[dispmath]a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_1\\
a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b_2[/dispmath] gde je [inlmath]b_1\ne b_2[/inlmath], taj sistem je kontradiktoran.

---

Da li bi sada, za početak, mogao da odgovoriš da li sistem iz tvog zadatka može biti određen (i zašto)? Da li može (za određene vrednosti parametara) biti kontradiktoran?
Ajd prvo to da vidimo, pa onda idemo na neodređenost.

Sistem ne moze biti odredjen jer je broj jednacina ocevidno manji od broja nepoznatih. Imamo tri jednacine, a cetiri nepoznate.
Ispitivao sam za:
[inlmath]a=-1\\
a=2\\
a=-2[/inlmath]

Za [inlmath]a=-1[/inlmath] dobijem:
[inlmath]-3y-x-z=1\\
u=1-b\\
c=b[/inlmath]

Sto bi znacilo da je za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem kontradiktoran.
Ako se varam ispravite me.

Cisra je napisao:Sistem ne moze biti odredjen jer je broj jednacina ocevidno manji od broja nepoznatih. Imamo tri jednacine, a cetiri nepoznate.

Upravo tako.

Cisra je napisao:Ispitivao sam za:
[inlmath]a=-1\\
a=2\\
a=-2[/inlmath]

Da, treba ispitivati za [inlmath]a=-1[/inlmath] i za [inlmath]a=2[/inlmath], ali zbog čega za [inlmath]a=-2[/inlmath]?

Cisra je napisao:Sto bi znacilo da je za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem kontradiktoran.

Tako je, a pokazaću i način koji bi objedinio sva ta ispitivanja.

Prvo napišemo proširenu matricu sistema,
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
a & a-2 & a & -1 & b\\
a & a-2 & -1 & a & c
\end{array}\right][/dispmath] zatim je transformišemo u trapezni oblik tako što, za početak, i drugoj i trećoj vrsti dodamo prvu pomnoženu sa [inlmath]a[/inlmath] i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & \left(a-1\right)\left(a+1\right) & a\left(a+2\right) & a+c
\end{array}\right][/dispmath] a zatim od treće vrste oduzmemo drugu i dobijemo
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & 0 & -\left(a+1\right) & a+1 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] čime smo proširenu matricu sistema sveli na trapezni oblik.
Sada je, radi određivanja kada je sistem kontradiktoran a kada neodređen, potrebno diskutovati slučajeve kada su elementi u preseku [inlmath]k[/inlmath]-te vrste i [inlmath]k[/inlmath]-te kolone jednaki nuli, a kada različiti od nule.
Ti elementi su: [inlmath]-1[/inlmath], [inlmath]\left(a+1\right)\left(a-2\right)[/inlmath] i [inlmath]-\left(a+1\right)[/inlmath].
Prvi od ta tri elementa uvek je različit od nule, drugi i treći element će biti jednaki nuli za [inlmath]a=-1[/inlmath], a samo drugi element će biti jednak nuli za [inlmath]a=2[/inlmath]. Dakle, ovo su vrednosti parametra [inlmath]a[/inlmath] za koje je potrebno posebno razmatrati sistem.

---

Za [inlmath]a=-1[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & -3 & -1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & -1 & b-1\\
0 & 0 & 0 & 0 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Ili, zapisano u obliku jednačina,
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
-x & -3y & -z & & =1\\
& & & -u & =b-1\\
& & & 0 & =c-b
\end{array}[/dispmath] Na osnovu poslednje (treće) jednačine odmah vidimo da mora biti [inlmath]c-b=0[/inlmath], tj. [inlmath]b=c[/inlmath], kako bi sistem uopšte mogao imati rešenja. U protivnom, za [inlmath]b\ne c[/inlmath], sistem je kontradiktoran.
Za [inlmath]b=c[/inlmath] moguće je jednoznačno odrediti vrednost za [inlmath]u[/inlmath] i ona iznosi [inlmath]u=1-b[/inlmath]. Međutim, za [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] nije moguće jednoznačno odrediti njihove vrednosti, već je jedino moguće vrednost svake od njih izraziti preko vrednosti preostale dve, npr. [inlmath]x=-3y-z-1[/inlmath]:
[dispmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] Zbog toga je za [inlmath]a=-1,\;b=c[/inlmath] ovaj sistem dvostruko neodređen.

---

Za [inlmath]a=2[/inlmath] trapezni oblik proširene matrice sistema svodi se na:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 2 & 3 & 1\\
0 & 0 & 6 & 5 & b+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] odakle odmah možemo videti da nepoznata [inlmath]y[/inlmath] može imati beskonačno mnogo rešenja i da pri tome ne zavisi ni od jedne druge nepoznate. Ostale nepoznate možemo izračunati sređivanjem ove matrice. Od prve vrste oduzmemo treću, a drugoj vrsti dodamo treću pomnoženu sa [inlmath]2[/inlmath]:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & 0 & 5 & 0 & b-c+1\\
0 & 0 & 0 & 11 & -b+2c+2\\
0 & 0 & -3 & 3 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] Odatle dobijamo:
[dispmath]11u=-b+2c+2\quad\Longrightarrow\quad u=\frac{-b+2c+2}{11}\\
-3z+3u=c-b\quad\Longrightarrow\quad z=u+\frac{b-c}{3}=\frac{-b+2c+2}{11}+\frac{b-c}{3}=\frac{8b-5c+6}{33}\\
-x+5z=b-c+1\quad\Longrightarrow\quad x=5z-b+c-1=5\cdot\frac{8b-5c+6}{33}-b+c-1=\frac{7b+8c-3}{33}[/dispmath]
[dispmath]\Longrightarrow\quad\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(\frac{7b+8c-3}{33},\;\alpha,\;\frac{8b-5c+6}{33},\;\frac{-b+2c+2}{11}\right)\;\right|\;\alpha\in\mathbb{R}\right\}[/dispmath] odakle vidimo da je za [inlmath]a=2[/inlmath] ovaj sistem jednostruko neodređen.

---

Dakle,

• Za [inlmath]a=-1\;\land\;b\ne c[/inlmath] sistem je kontradiktoran;
• Za [inlmath]a=-1\;\land\;b=c[/inlmath] sistem je dvostruko neodređen;
• Za [inlmath]a=2[/inlmath] sistem je jednostruko neodređen.

Bi li umeo da dovršiš zadatak tako što bi, polazeći od trapeznog oblika proširene matrice sistema, odredio rešenja i utvrdio prirodu sistema za [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath]?

Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Jos mi nije jasan ovaj zapis [inlmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath]
Odakle se sad stvorila [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath]?
Ili recimo ovako da dodjem do ispitivanja i dobijem (ovo je iz drugog zadatka ali cisto primera radi):
ispitujem za [inlmath]a=2\;\land\;b=2[/inlmath] (za [inlmath]a=2\;\land\;b\ne0[/inlmath] je kontradiktoran)
i dobijem [inlmath]x=1-u[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] izgubim pri sredjivanju jednacina, [inlmath]z=-3[/inlmath] i [inlmath]u=1-x[/inlmath]

da li bi ovo bio ispravan nacin zapisivanja ? ili bi umesto [inlmath]\beta[/inlmath] trebao pisati [inlmath]0[/inlmath] jer mi se [inlmath]y[/inlmath] izgubio?
[inlmath](x,y,z,u)=\{(1-\alpha,\;\beta,\;-3,\;\alpha)\;|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}[/inlmath]
i da li bi to znacilo da je sistem jednostruko neodredjen?

I ne bih umeo da zavrsim zadatak. Ne znam kako bih poceo, da uzmem nasumicne vrednosti za [inlmath]a[/inlmath]? Ili bih trebao gledati da dodatno sredim jednacine?

Cisra je napisao:Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Zato sto je potrebno da ispod glavne dijagonale dobijemo [inlmath]0[/inlmath].

Cisra je napisao:Jos mi nije jasan ovaj zapis [inlmath]\left(x,y,z,u\right)=\left\{\left.\left(-3\alpha-\beta-1,\;\alpha,\;\beta,\;1-b\right)\;\right|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\right\}[/inlmath]
Odakle se sad stvorila [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath]?

Kada imamo neodredjen sistem i kada nije moguće jednoznačno odrediti njihove vrednosti promenljivih, kao sto rece Daniel, uzimamo jednu ili dve promenljive za neke realne parametre [inlmath]\alpha,\beta[/inlmath] i ostale promenljive izrazavamo preko njih (zavisno od toga da li je sistem jednostruko ili dvostruko neodredjen). U Danielovom objasnjenju, promenjljive [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] uzete su za realne parametre [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], a preostale dve promenljive ([inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]) izrazene su preko tih realnih parametara.

Ilija je napisao:

Cisra je napisao:Nije mi jasno zasto si mnozio prvu vrstu sa [inlmath]a[/inlmath] i tako sredjivao matricu.

Zato sto je potrebno da ispod glavne dijagonale dobijemo [inlmath]0[/inlmath].

...to jest, da svedemo proširenu matricu sistema na trapeznu formu.

Cisra je napisao:Ili recimo ovako da dodjem do ispitivanja i dobijem (ovo je iz drugog zadatka ali cisto primera radi):
ispitujem za [inlmath]a=2\;\land\;b=2[/inlmath] (za [inlmath]a=2\;\land\;b\ne0[/inlmath] je kontradiktoran)
i dobijem [inlmath]x=1-u[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] izgubim pri sredjivanju jednacina, [inlmath]z=-3[/inlmath] i [inlmath]u=1-x[/inlmath]

da li bi ovo bio ispravan nacin zapisivanja ? ili bi umesto [inlmath]\beta[/inlmath] trebao pisati [inlmath]0[/inlmath] jer mi se [inlmath]y[/inlmath] izgubio?
[inlmath](x,y,z,u)=\{(1-\alpha,\;\beta,\;-3,\;\alpha)\;|\;\alpha,\beta\in\mathbb{R}\}[/inlmath]

Da, dobro si zapisao. Znači, nepoznatoj [inlmath]u[/inlmath] si pridružio neku realnu vrednost [inlmath]\alpha[/inlmath], a nepoznatu [inlmath]x[/inlmath] si izrazio preko nepoznate [inlmath]u[/inlmath].
Takođe, ispravno si promenljivoj [inlmath]y[/inlmath] (koja nit je određena, nit zavisi od bilo koje druge nepoznate) dodelio neku drugu realnu vrednost [inlmath]\beta[/inlmath]. Da si stavio nulu, to bi značilo da si za [inlmath]y[/inlmath] dobio jednoznačnu vrednost [inlmath]y=0[/inlmath], a to, koliko sam te razumeo, nije slučaj.

Cisra je napisao:i da li bi to znacilo da je sistem jednostruko neodredjen?

Ne, nego da je dvostruko određen, jer si dve nepoznate posmatrao kao parametre, tj. dvema nepoznatama si dodelio realne vrednosti, [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath].
Da si samo jednoj nepoznatoj pridružio neku realnu vrednost [inlmath]\alpha[/inlmath], a ostale ili izrazio preko te nepoznate ili im jednoznačno odredio vrednost, tada bi sistem bio jednostruko neodređen.

Cisra je napisao:I ne bih umeo da zavrsim zadatak. Ne znam kako bih poceo, da uzmem nasumicne vrednosti za [inlmath]a[/inlmath]? Ili bih trebao gledati da dodatno sredim jednacine?

Krećeš od trapeznog oblika na koji smo sveli proširenu matricu sistema:
[dispmath]\left[\begin{array}{cccc|c}
-1 & a-2 & a & a+1 & 1\\
0 & \left(a+1\right)\left(a-2\right) & a\left(a+1\right) & a^2+a-1 & a+b\\
0 & 0 & -\left(a+1\right) & a+1 & c-b
\end{array}\right][/dispmath] I sad to napišeš u obliku jednačina:
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
-x & +\left(a-2\right)y & +az & +\left(a+1\right)u & =1\\
& \left(a+1\right)\left(a-2\right)y & +a\left(a+1\right)z & +\left(a^2+a-1\right)u & =a+b\\
& & -\left(a+1\right)z & +\left(a+1\right)u & =c-b
\end{array}[/dispmath] Ovde ti je najzgodnije da nepoznatu [inlmath]u[/inlmath] posmatraš kao parametar, a da ostale promenljive izraziš preko nje. Krećeš od donje jednačine i zatim ideš prema gore. Na osnovu te donje (poslednje) jednačine, izraziš [inlmath]z[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath]. Treba da dobiješ
[dispmath]-\left(a+1\right)z=-\left(a+1\right)u+c-b\quad\Longrightarrow\quad z=u+\frac{b-c}{a+1}[/dispmath] Zatim tako dobijenu vrednost za [inlmath]z[/inlmath] uvrstiš u drugu jednačinu (u kojoj figurišu [inlmath]y[/inlmath], [inlmath]z[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]), čime ćeš je svesti na jednačinu u kojoj figurišu samo [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]. Odatle izraziš [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath].
I, na kraju, u prvu jednačinu (u kojoj figurišu sve četiri nepoznate) uvrstiš tako dobijene vrednosti za [inlmath]y[/inlmath] i za [inlmath]z[/inlmath], čime tu jednačinu svedeš na jednačinu u kojoj figurišu samo [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]u[/inlmath]. Odatle izraziš [inlmath]x[/inlmath] preko [inlmath]u[/inlmath].

U zavrsnoj fazi odnosno ispitivanje kada je [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath] svodi se na tu "sredjenu" matricu nasih jednacina i dobija se sistem koji je jednosturko neodredjen, kao sto ti rece, najzgodnije po [inlmath]u[/inlmath]. Nadam se da sam upravu
Sada mi je sve jasno, ako naidjem na jos nesto, pitacu ovde.

Cisra je napisao:i dobija se sistem koji je jednosturko neodredjen, kao sto ti rece, najzgodnije po [inlmath]u[/inlmath]. Nadam se da sam upravu

Jesi, u pravu si (piše se rastavljeno), dakle, jednostruko neodređen sistem dobijamo za slučaj [inlmath]a\ne-1\;\land\;a\ne2[/inlmath] i za slučaj [inlmath]a=2[/inlmath].

U vezi neodređenih jednačina, nije mi najjasnije kako bih znao kako da završim postupak kod sledećeg sistema:
[inlmath]x+2y-z=-2\\
3x+y+2z=4[/inlmath]

Ovaj sistem je neodređen jer imamo 3 nepoznate a 2 jednačine. E sad, nisam baš najbolje shvatio kako bih mogao da utvrdim da li je jednostruko ili dvostruko neodređen. Što ne bih smeo da pomnožim prvu sa [inlmath]-2[/inlmath] i saberem sa drugom? Utvrdio sam posle da je to greška, jer sam dobio celobrojne vrednosti i za [inlmath]x,z,y[/inlmath].

Naravno da bi smeo da prvu pomnožiš sa [inlmath]-2[/inlmath] i sabereš s drugom, ali time ništa ne dobijaš jer ne eliminišeš nijednu nepoznatu.
Ono što možeš da uradiš to je bilo šta od sledećeg:
– da prvu pomnožiš sa [inlmath]-3[/inlmath] i dodaš drugoj, čime ćeš eliminisati promenljivu [inlmath]x[/inlmath]
ili
– da drugu pomnožiš sa [inlmath]-2[/inlmath] i dodaš prvoj, čime ćeš eliminisati promenljivu [inlmath]y[/inlmath]
ili
– da prvu pomnožiš sa [inlmath]2[/inlmath] i dodaš drugoj, čime ćeš eliminisati promenljivu [inlmath]z[/inlmath].

Na koji god od ova tri načina da radiš, svakako ćeš dobiti isti rezultat.

Acim je napisao:E sad, nisam baš najbolje shvatio kako bih mogao da utvrdim da li je jednostruko ili dvostruko neodređen.

Pregledaj prethodne postove u okviru ove teme, više je nego detaljno objašnjeno.

Zdravo svima.

Rešavam prvi zadatak sa ovog linka (formatiranje je jako loše, izvinjavam se zbog toga)

---

1. U zavisnosti od parametra [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] diskutovati sistem jednačina
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
a(a-1)x & +y & & +(a+1)u & =1\\
a(a-1)x & +(a-1)y & +z & +(2a-2)u & =b+1\\
& (a-2)y & +(a+1)z & +(2a-4)u & = b+2
\end{array}[/dispmath] Rešenje:
[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
a(a-1)x & +y & & +(a+1)u & =1\\
& (a-2)y & +z & +(a-3)u & =b\\
& (a-2)y & +(a+1)z & +(2a-4)u & = b+2
\end{array}[/dispmath]

---

[dispmath]\begin{array}{rrrrl}
a(a-1)x & +y & & +(a+1)u & =1\\
& (a-2)y & +z & +(a-3)u & =b\\
& & az & +(a-1)u & = 2
\end{array}[/dispmath][inlmath]I\quad a\ne0\;\land\;a\ne1\;\land\;a\ne2\quad\Longrightarrow\quad[/inlmath] jednostruko neodređen
[inlmath]II\quad a=0\;\lor\;a=2\quad\Longrightarrow\quad[/inlmath] jednostruko neodređen
[inlmath]II\quad a=1\;\land\;b=1\quad\Longrightarrow\quad[/inlmath] dvostruko neodređen
[inlmath]IV\quad a=1\;\land\;b\ne1\quad\Longrightarrow\quad[/inlmath] kontradiktoran

---

i nije mi jasno kako je sistem jednostruko neodređen za [inlmath]a=2[/inlmath], kada su jednačine koje dobijemo na taj način:

[inlmath]z-u=b\\
2x+y+3u=1\\
3z=b+2[/inlmath]

Ovde je neophodno da [inlmath]z[/inlmath] fiksiramo u trećoj jednačini, a [inlmath]u[/inlmath] u prvoj, kako bismo ubacili u drugu, zar ne? Kako je onda sistem jednostruko neodređen i ima li to neke veze sa tim što bismo [inlmath]u[/inlmath] fiksirali uz pomoć [inlmath]z[/inlmath]? Ovo su verovatno jako glupa pitanja i izvinjavam se i zbog toga, ali nije mi najjasnije.

Hvala svima unapred na uloženom vremenu.

Pozdrav, i dobrodošlica na forum...

anabulatovic je napisao:Ovde je neophodno da [inlmath]z[/inlmath] fiksiramo u trećoj jednačini,

Ovde ti je greška. Nepoznatu [inlmath]z[/inlmath] iz jednačine [inlmath]3z=b+2[/inlmath] možemo jednoznačno odrediti tako što ćemo je izraziti preko [inlmath]b[/inlmath]. Obrati pažnju na to da [inlmath]b[/inlmath] nije nepoznata. [inlmath]b[/inlmath] je parametar (isto kao i [inlmath]a[/inlmath]), što će reći da [inlmath]b[/inlmath] smatramo poznatim, i čim [inlmath]z[/inlmath] možemo da odredimo u zavisnosti od [inlmath]b[/inlmath] znači da smo [inlmath]z[/inlmath] jednoznačno odredili, prema tome, nema potrebe da je fiksiramo.
Čim smo [inlmath]z[/inlmath] jednoznačno odredili, znači da iz jednačine [inlmath]z-u=b[/inlmath] možemo jednoznačno odrediti i [inlmath]u[/inlmath].
Ostala je još jednačina [inlmath]2x+y+3u=1[/inlmath]. U njoj nam je, dakle, [inlmath]u[/inlmath] jednoznačno određena, a [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] nisu. Jednu od te dve nepoznate (bilo [inlmath]x[/inlmath], bilo [inlmath]y[/inlmath]) možemo fiksirati, a zatim onu drugu izraziti preko nje. Pošto samo jednu promenljivu fiksiramo, ovaj sistem je za [inlmath]a=2[/inlmath] jednostruko neodređen.

Hvala, taj deo sam razumela, ali mi se sad nameće drugo pitanje: šta onda znači fiksiranje nepoznate?

Moguće da se nismo razumeli zbog neprecizne terminologije. Ako si pod izrazom fiksirati mislila na jednoznačno odrediti, onda je tvoje razmišljanje u redu. Ja sam pod fiksiranjem promenljive bio razumeo da u odnosu na tu promenljivu izražavaš ostale.
Dakle, [inlmath]u[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] jednoznačno odredimo, a zatim, pošto se za [inlmath]u[/inlmath] dobije [inlmath]\frac{2-2b}{3}[/inlmath], kad se to uvrsti u [inlmath]2x+y+3u=1[/inlmath], dobije se [inlmath]2x+y=2b-1[/inlmath], što znači da [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ne možemo jednoznačno odrediti, ali jednu od te dve nepoznate možemo izraziti preko druge, tj. [inlmath]x=\frac{2b-1-y}{2}[/inlmath] ili [inlmath]y=2b-1-2x[/inlmath].