MATEMANIJA

Diskutovati i resiti sistem jednacina u zavisnosti od realnog parametra [inlmath]p[/inlmath]
[dispmath]\begin{array}{l}
x+y+z=p-1\\
x+py+z=2(p-1)\\
x+y+pz=1
\end{array}[/dispmath] Ne znam kako da pocnem, pa ako moze mala pomoc. Hvala

Nađe se determinanta sistema:
[dispmath]D=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & p & 1\\
1 & 1 & p
\end{vmatrix}=(p-1)^2[/dispmath] Potom i tri determinante promenljivih tj. [inlmath]D_x[/inlmath] zatim [inlmath]D_y[/inlmath] i [inlmath]D_z[/inlmath]. Sve tri treba izraziti preko parametra.
Nadam se da znaš kako se one traže.
Potom se primeni Kramerova teorema, koja je zgodna za kvadratne šeme jer je determinanta uvek kvadratna.
Ovde su sve determinante tri puta tri jer je zadat sistem tri jednačine s tri nepoznate.
Da li znaš Kramerovu teoremu?
Sreće se i pod nazivom "Kramerovo pravilo".
p.s. Obrati pažnju na Tačku 13. Pravilnika foruma Matemanija.
Lepše bi izgledao u Latexu ovaj tvoj sistem jednačina, a to nam je i standard na Matemaniji.
A u svom prethodnom postu si pokazao da znaš Latex.
Evo ovaj put ću ja prepraviti.
Ostalo je ok, pošto si naglasio da nemaš ni početnu ideju.

Da se doreknem.

Kramerova teorema (za slučaj tri jednačine s tri nepoznate) glasi:

• Ukoliko je determinanta sistema [inlmath]D[/inlmath] različita od nule onda sistem ima jedinstveno rešenje pri čemu je to rešenje:
  [dispmath]x=\frac{D_x}{D}\qquad y=\frac{D_y}{D}\qquad z=\frac{D_z}{D}[/dispmath]
• Ukoliko je determinanta sistema jednaka nuli i sve tri determinante [inlmath]\quad D_x,\quad D_y \quad[/inlmath] i [inlmath]\quad D_z[/inlmath]
  jednake nuli, sistem linearnih jednačina je ili neodređen ili nemoguć (nesaglasan), što se posebno utvrđuje Gausovim metodom eliminacije tj. rešavanja sistema za određenu vrednost parametra.
  
  
• Ukoliko je determinanta sistema jednaka nuli i bar jedna od tri determinante[inlmath]\quad D_x,\quad D_y \quad[/inlmath] i [inlmath]\quad D_z[/inlmath]
  različita od nule, sistem linearnih jednačina je nemoguć (nesaglasan).

p.s. Važno je napomenuti da se ovi posebni slučajevi dobijaju za određene vrednosti parametra. Moguće je da budu sva tri slučaja, dva slučaja ili samo jedan, naravno u zavisnosti od zadatka.

Da li se i ovaj sistem resava Kramerovom metodom ?
[dispmath]\left.\begin{matrix}
x+y+z=6\\
x+my+4z=5\\
2x+6y+(m+2)z=13
\end{matrix}\right\}(m\in\mathbb{R})[/dispmath] Pozdrav!

Da, može i preko Kramera.

Dobio sam kvadratnu jednačinu, gde grešim !?
[dispmath]m^2-m-8[/dispmath] ali i kada uradim gornju matricu ne dobijem rešenje koje piše već:
[dispmath]p^2+1-2p[/dispmath]

Htedoh reći da nisam dobio determinantu.

[dispmath]1\cdot m\cdot(m+2)+1\cdot4\cdot2+1\cdot1\cdot6-1\cdot1\cdot(m-2)-1\cdot4\cdot6-1\cdot m\cdot2=\\
m^2+\cancel{2m}+8+6-m+2-24\cancel{-2m}=[/dispmath]

Pretpostavljam da pitaš za razvoj deteminante sistema, i pretpostavljam da si je razvijao po Sarusovom pravilu (ne volim kad ovoliko stvari moram da pretpostavljam, al' kad ništa od toga nisi napisao, a trebalo je...)

Imaš grešku kod ovog crvenog:

Shworc je napisao:[dispmath]1\cdot m\cdot(m+2)+1\cdot4\cdot2+1\cdot1\cdot6-1\cdot1\cdot(m{\color{red}-}2)-1\cdot4\cdot6-1\cdot m\cdot2=[/dispmath]

DA, DA, mislio sam na razvoj determinante sistema po sarusovom pravilu (nisam znao da se tako zove).