MATEMANIJA

Neka je [inlmath]A[/inlmath] matrica takva da vrijedi [inlmath]A^3=0[/inlmath]. Ispitati da li je matrica [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] invertibilna i ako jeste odrediti joj inverz.

Posto se ispituje matrica [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] razmisljao sam da koristim zbir kubova [inlmath]A^3+I^3[/inlmath] i da onda pokusam da pokazem da determinanta od [inlmath]A[/inlmath] i od [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] nije jednaka nuli, ali ne znam kako. Novi sam na forumu, pa sam se trudio da ne krsim pravila, ali ne znam uraditi zadatak. Pa ako moze pomoc u vidu nekih ideja.

Do osnovne ideje si i sâm došao. Znači, [inlmath]A^2-A+I[/inlmath] posmatraš kao faktor u rastavljanju zbira kubova matrica [inlmath]A^3+I^3[/inlmath]. Nije potrebno da tražiš determinantu.
Kod množenja matrica treba biti malo oprezniji nego pri klasičnom množenju, budući da nije isto množenje sleva i množenje zdesna, ali to se može časkom proveriti:
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)[/dispmath]
Primenimo zakon distribucije za množenje sleva,
[dispmath](A+I)A^2-(A+I)A+(A+I)I=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
Pošto je po uslovu zadatka [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi da važi
[dispmath](A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/dispmath]
Isto tako, izračunajmo [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)[/inlmath] ovaj put primenom zakona distribucije na množenje zdesna:
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=A^2(A+I)-A(A+I)+I(A+I)=A^3+\cancel{A^2}-\cancel{A^2}-\cancel A+\cancel A+I=A^3+I[/dispmath]
a pošto je [inlmath]A^3=0[/inlmath], sledi
[dispmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=I[/dispmath]
Inverzna matrica matrice [inlmath]X[/inlmath] je po definiciji ona za koju važi
[dispmath]X\cdot X^{-1}=X^{-1}\cdot X=I[/dispmath]
a pošto smo pokazali da je [inlmath]\left(A^2-A+I\right)(A+I)=(A+I)\left(A^2-A+I\right)=I[/inlmath], sledi da je [inlmath](A+I)[/inlmath] inverzna matrica matrice [inlmath]\left(A^2-A+I\right)[/inlmath].