MATEMANIJA

Pozdrav matematicari nov sam na forumu pa pretrazujem neke stvari vezano za matricne jednacine a nikako da nadjem ne mogu da se snadjem vezano za resavanje istih od cega da pocnem?

Možda je bolje da postaviš konkretan zadatak, naravno poštujući Pravilnik

Evo zadatka [inlmath]2\cdot A\cdot X^T-B^{-1}=3\cdot C\cdot X^T-E[/inlmath]

Resenje jednacine je: [inlmath]X=\Bigl[\bigl(B(2\cdot A-3\cdot C)\bigr)^{-1}(E-B)\Bigr]^T[/inlmath]

Pozdrav,
Kad ti je Miladin rekao za Pravilnik, nije mislio samo na Latex (koji sam ti BTW korigovao), već i na tačku 6. Uvek treba da napišeš neku svoju ideju, ili da makar pokušaš da započneš, a mi onda da pomognemo gde „zaškripi“.

Imali smo baš u ovoj rubrici (Linearna algebra) dosta tema s matričnim jednačinama, pregledaj ih malo.

Uglavnom, treba da na jednu stranu grupišeš sve sabirke koji sadrže nepoznatu matricu [inlmath]X[/inlmath], a one sabirke koji je ne sadrže na drugu – kao što se radi i kod rešavanja običnih jednačina. Malo primeniš zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje, malo primeniš množenje sleva ili zdesna pogodnom matricom tako da se dobiju jedinične matrice tamo gde želiš da ti ostane samo [inlmath]X[/inlmath]...
Hajde, pokušaj sâm, napiši to što si pokušao i dokle si stigao, pa ćemo pomoći šta treba...

Pozdrav nijesam bas detaljno citao pravilnik izvinjavam se na tome evo ja sam pokusao da je rijesim al opet ne mogu da dobijem taj rezultat evo kako sam radio:
[dispmath]2AX^T-B^{-1}=3CX^T-E[/dispmath]
Prebacio sam nepoznate na jednu poznate na drugu
[dispmath]2AX^T-3CX^T=B^{-1}-E[/dispmath]
Pa sam primijenio zakon distributivnosti
[dispmath](2A-3C)X^T=B^{-1}-E[/dispmath]
Onda sam pomnozio sa lijeve strane sa [inlmath](2A-3C)^{-1}[/inlmath]
[dispmath](2A-3C)^{-1}(2A-3C)X^T=B^{-1}-E[/dispmath]
Onda sam uz [inlmath]X[/inlmath] dobio jedinicnu matricu [inlmath]E[/inlmath]
[dispmath]X^T=(2A-3C)^{-1}\left(B^{-1}-E\right)[/dispmath]
Onda sam to transponovao
[dispmath]X=\Bigl[(2A-3C)^{-1}\left(B^{-1}-E\right)\Bigr]^T[/dispmath]
Dovde umijem dalje ne znam pokusavao sam ali ne ide

Dobro si uradio, i dobio si ispravan rezultat. To što je tvoj rezultat zapisan u drugačijem obliku nego njihov, ne umanjuje tačnost tvog rezultata.
Ipak, ako želiš svoj rezultat da središ da bude identično zapisan kao njihov, može i to.
Dakle, dobio si [inlmath]X=\Bigl[(2A-3C)^{-1}\left(B^{-1}-E\right)\Bigr]^T[/inlmath]. Između [inlmath](2A-3C)^{-1}[/inlmath] i [inlmath]\left(B^{-1}-E\right)[/inlmath] „umetni“ jediničnu matricu [inlmath]E[/inlmath] (naravno, time se vrednost izraza ne menja):
[dispmath]X=\Bigl[(2A-3C)^{-1}E\left(B^{-1}-E\right)\Bigr]^T[/dispmath]
Sada tu jediničnu matricu [inlmath]E[/inlmath] napišeš kao [inlmath]B^{-1}B[/inlmath] (cilj nam je da time „neutrališemo“ ono [inlmath]B^{-1}[/inlmath] iz naredne zagrade):
[dispmath]X=\Bigl[(2A-3C)^{-1}B^{-1}B\left(B^{-1}-E\right)\Bigr]^T[/dispmath]
Pošto je množenje matrica asocijativno, sad možemo posmatrati ovaj deo [inlmath]B\left(B^{-1}-E\right)[/inlmath] i napisati ga kao [inlmath]BB^{-1}-BE[/inlmath] (na osnovu leve distributivnosti), a to je onda [inlmath]E-B[/inlmath]:
[dispmath]X=\Bigl[(2A-3C)^{-1}B^{-1}(E-B)\Bigr]^T[/dispmath]
Na deo [inlmath](2A-3C)^{-1}B^{-1}[/inlmath] možemo primeniti pravilo [inlmath](XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}[/inlmath] (samo u ovom slučaju u obrnutom smeru, tj. [inlmath]X^{-1}Y^{-1}=(YX)^{-1}[/inlmath]):
[dispmath]X=\Bigl[\bigl(B(2A-3C)\bigr)^{-1}(E-B)\Bigr]^T[/dispmath]
i to je upravo oblik u kojem je zapisano i njihovo rešenje.

---

Do takvog oblika rešenja mogao si doći i malo drugačijim postupkom. Kad si došao do ovog koraka:

stefansav1 je napisao:Pa sam primijenio zakon distributivnosti
[dispmath](2A-3C)X^T=B^{-1}-E[/dispmath]

pomnožiš obe strane sleva matricom [inlmath]B[/inlmath] (oni su tako radili kako bi na desnoj strani „neutralisali“ [inlmath]B^{-1}[/inlmath], tj. da bi na desnoj strani umesto [inlmath]B^{-1}-E[/inlmath] dobili [inlmath]E-B[/inlmath]):
[dispmath]B(2A-3C)X^T=E-B[/dispmath]
Dalje je lako – pomnožiš obe strane sleva sa [inlmath]\bigl(B(2A-3C)\bigr)^{-1}[/inlmath] čime na levoj strani dobiješ samo [inlmath]X^T[/inlmath], a zatim i levu i desnu stranu transponuješ...

---

Ovde sam ti crvenom bojom obeležio deo koji si u svom postupku izostavio:

stefansav1 je napisao:[dispmath](2A-3C)X^T=B^{-1}-E[/dispmath]
Onda sam pomnozio sa lijeve strane sa [inlmath](2A-3C)^{-1}[/inlmath]
[dispmath](2A-3C)^{-1}(2A-3C)X^T={\color{red}(2A-3C)^{-1}}\left(B^{-1}-E\right)[/dispmath]
Onda sam uz [inlmath]X[/inlmath] dobio jedinicnu matricu [inlmath]E[/inlmath]
[dispmath]X^T=(2A-3C)^{-1}\left(B^{-1}-E\right)[/dispmath]

mada pretpostavljam da je to samo bio previd prilikom prekucavanja u Latex, budući da ti je već naredni korak ispravno napisan...

Korigovao sam ti Latex – kad treba [inlmath]-1[/inlmath] da napišeš u eksponentu, potrebno je da ga staviš u vitičaste zagrade. Uporedi:
B^-1 se prikazuje kao [inlmath]B^-1[/inlmath]
B^{-1} se prikazuje kao [inlmath]B^{-1}[/inlmath]