MATEMANIJA

Zaokružiti tačna tvrđenja:

a) Grupoid se može definisati na svakom nepraznom skupu;
b) Za svaki neprazni skup [inlmath]G[/inlmath] postoji neka binarna operacija [inlmath]\cdot[/inlmath] takva da je [inlmath](G,\cdot)[/inlmath] grupoid;
c) U svakom nepraznom skupu [inlmath]G[/inlmath] može se definisati neka binarna operacija;
d) nijedno nije tačno;

Ako može mala pomoć uz objašnjenje, hvala.

a) Da bi neki skup nazvali grupoidom, on mora da ispunjava osobinu zatvorenosti. Definicija grupoida:
Grupoid je uređeni par [inlmath]\left(\mathbb{G},\ast\right)[/inlmath], gde je [inlmath]\ast[/inlmath] binarna operacija skupa [inlmath]\mathbb{G}\ne\emptyset[/inlmath]
Primer skupa koji nije grupoid je [inlmath]\left(\mathbb{N},-\right)[/inlmath]
Dokaz : Ako važi [inlmath]a,b\in\mathbb{N}[/inlmath], da bismo ispunili osobinu zatvorenosti, moramo dokazati da i razlika bilo koja dva prirodna broja pripada [inlmath]\mathbb{N}[/inlmath]
[dispmath]1-3=-2,\quad-2\notin\mathbb{N}[/dispmath]
Slično će biti ako iz skupova [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath] , [inlmath]\mathbb{Z}[/inlmath] ne eliminišeš nulu za deljenje.
b) i c) Neka je [inlmath]\mathbb{G}=\{a\}[/inlmath] jedan (jednočlani) neprazan skup, da li na njemu možemo uspostaviti binarne operacije?

Hvala!

Zapravo možemo definisati grupoid (u stranoj literaturi se naziva još i magma) na svakom nepraznom skupu. To ne znači da svaka operacija sa svakim skupom čini grupoid.
Isto tako, iako skup sadrži jedan element na njega se može primeniti binarni operator (trivijalni primer je grupoid čiji je nosač [inlmath]\{1\}[/inlmath] a binarni operator uobičajno definisano množenje [inlmath]\cdot[/inlmath])

Pod c) se čak i ne traži da [inlmath]G[/inlmath] bude grupoid, tj. binarna operacija i ne mora davati rezultat koji pripada skupu [inlmath]G[/inlmath]. A binarnu operaciju je, što reče ubavic, moguće definisati i nad skupom od jednog elementa: [inlmath]a\cdot a=b[/inlmath] (pri čemu [inlmath]b[/inlmath] i ne mora biti jednako [inlmath]a[/inlmath], tj. ne mora pripadati skupu [inlmath]G[/inlmath] jer se, kako rekoh, ne zahteva zatvorenost operacije budući da [inlmath]G[/inlmath] ne mora biti grupoid).

Pod b) bi trivijalan primer bila takva binarna operacija koja, bez obzira na koja dva elementa je primenjena, uvek daje jedan isti rezultat, i to rezultat koji je element skupa [inlmath]G[/inlmath] (radi zadovoljenja zatvorenosti u odnosu na [inlmath]G[/inlmath] kako bi [inlmath]G[/inlmath] bio grupoid). Za slučaj skupa od jednog elementa operacija bi bila definisana kao [inlmath]a\cdot a=a[/inlmath].

Pod a) mi pitanje nije najjasnije. Šta znači definisanje grupoida na nepraznom skupu? Da li to znači definisanje grupoida pridruživanjem odgovarajuće operacije (s takvim tumačenjem, ne uočavam razliku u odnosu na pitanje pod b)), ili to znači definisanje grupoida bez pridruživanja operacije (što znamo da nije moguće)?