Došao sam do tipa zadatka sa kojim se do sada nisam susretao tj. ne znam kako da ga rešim, a rešenje u knjizi nije bilo baš od pomoći
[dispmath]x_1+x_2-2x_3=3\\
2x_1+x_2+x_3=0\\
3x_1+2x_2-x_3=3\\[/dispmath]
Krenuo sam ga raditi preko matrica i dobio sledeće:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right][/dispmath]
Kako da odavde odredim i [inlmath]x_1[/inlmath] i [inlmath]x_2[/inlmath] pored [inlmath]x_3[/inlmath] ?

Sistemi linearnih jednačina se obično rade preko Kramerovog pravila:

[dispmath]a_{11}x_1+\cdots+a_{1n}x_1=b_1\\
\vdots\\
a_{n1}x_1+\cdots+a_{nn}x_n=b_n[/dispmath]
Odredimo prvo determinantu [inlmath]D[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}[/dispmath]
Zatim računamo ostale determinante [inlmath]D_k[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}[/dispmath]
[inlmath]b_1[/inlmath] se nalaze u [inlmath]k[/inlmath]-toj koloni, gdje [inlmath]k=1,2,\ldots,n[/inlmath]

Razlikujemo tri slučaja:
[inlmath]1.\;D\neq0[/inlmath] tada imamo jedinstveno rješenje, tj.
[inlmath]\left(\frac{D_1}{D},\ldots,\frac{D_n}{D}\right)[/inlmath]
[inlmath]2.\;D=0[/inlmath] , tada postoji neko [inlmath]k[/inlmath], takvo da [inlmath]D_k=0[/inlmath]
Sistem je protivrječan, skup rješenja je prazan
[inlmath]3.\;D=D_1=\cdots=D_n=0[/inlmath]
Ima beskonačno mnogo rješenja, ili sistem nema rješenja. Tada pokušavamo riješiti sistem na neki drugi način.

U ovom zadatku determinanta [inlmath]D[/inlmath] je:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 1 & -2\\
2 & 1 & 1\\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix}[/dispmath]
Zatim računamo [inlmath]D_1[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
3 & 1 & -2\\
0 & 1 & 1\\
3 & 2 & -1
\end{vmatrix}[/dispmath]
[inlmath]D_2[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 3 & -2\\
2 & 0 & 1\\
3 & 3 & -1
\end{vmatrix}[/dispmath]
I još [inlmath]D_3[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & 1 & 3\\
2 & 1 & 0\\
3 & 2 & 3
\end{vmatrix}[/dispmath]

nikola011 je napisao:Krenuo sam ga raditi preko matrica i dobio sledeće:
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 3\\
0 & 0 & 3 & -3\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right][/dispmath]

Negde imaš grešku (kad bi se dobila takva matrica odatle bi odmah video da je [inlmath]3x_3=-3[/inlmath], tj. da je [inlmath]x_3=-1[/inlmath], ali to nije tačno rešenje).
Treba da se dobije
[dispmath]\left[\begin{array}{ccc|c}
1 & 1 & -2 & 3\\
0 & -1 & 5 & -6\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{array}\right][/dispmath]
Ali, u svakom slučaju, čim dobiješ da su u jednoj vrsti svi elementi nule, znači da imaš jednu jednačinu manje od broja promenljivih, tako da taj sistem nema jedinstveno rešenje, već ima beskonačno mnogo rešenja.
U takvim slučajevima, možeš jednu nepoznatu da fiksiraš, a ostale da izraziš preko nje.

mala_mu je napisao:[dispmath]\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & b_{\color{red}1} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}[/dispmath]
[inlmath]b_1[/inlmath] se nalaze u [inlmath]k[/inlmath]-toj koloni, gdje [inlmath]k=1,2,\ldots,n[/inlmath]

Zapravo, u [inlmath]k[/inlmath]-toj koloni treba da se nalaze vrednosti [inlmath]b_1[/inlmath] do [inlmath]b_n[/inlmath]:
[dispmath]\begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
a_{n1} & \cdots & b_{\color{green}n} & \cdots & a_{nn}
\end{vmatrix}[/dispmath]
upravo kako si kasnije i pokazala na ovom primeru.

mala_mu je napisao:Razlikujemo tri slučaja:
[inlmath]1.\;D\neq0[/inlmath] tada imamo jedinstveno rješenje, tj.
[inlmath]\left(\frac{D_1}{D},\ldots,\frac{D_n}{D}\right)[/inlmath]
[inlmath]2.\;D=0[/inlmath] , tada postoji neko [inlmath]k[/inlmath], takvo da [inlmath]D_k=0[/inlmath]
Sistem je protivrječan, skup rješenja je prazan
[inlmath]3.\;D=D_1=\cdots=D_n=0[/inlmath]
Ima beskonačno mnogo rješenja, ili sistem nema rješenja. Tada pokušavamo riješiti sistem na neki drugi način.

Malo da korigujem formulaciju ovog 2. slučaja. Ako je [inlmath]D=0[/inlmath] i bar jedna od determinanti [inlmath]D_k[/inlmath] ([inlmath]k=1,\ldots,n[/inlmath]) različita od nule, tada je sistem protivrečan (skup rešenja prazan).

U vezi s tim, možete pogledati i ovaj post.

Za sistem [inlmath]n[/inlmath] linearnih jednačina sa [inlmath]n[/inlmath] nepoznatih najbrži metod rešavanja je Gausov sistem eliminacije, po mom mišlenju, i to ako se ne zahteva (u startu) diskusija nekog parametra. Ovde je sve "čisto", nema parametra (parametara) tako da imamo zadat sistem:
[dispmath]x_1+x_2-2x_3=3\\ 2x_1+x_2+x_3=0\\ 3x_1+2x_2-x_3=3[/dispmath]
Množenjem prve jednačine sa [inlmath]-2[/inlmath] i dodavanjem drugoj uz množenje prve jednačine sa [inlmath]-3[/inlmath] i dodavanjem trećoj dobijamo:
[dispmath]x_1+x_2-2x_3=3\\ -x_2+5x_3=-6\\ -x_2+5x_3=-6[/dispmath]
Prva jednačina je prepisana. Sada se množi druga jednačina sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodaje trećoj, a prve dve se prepišu:
[dispmath]x_1+x_2-2x_3=3\\ -x_2+5x_3=-6\\ 0=0[/dispmath]
Da smo u trećoj jednačini dobili nešto apsurdno, npr [inlmath]0=4[/inlmath] sistem bi bio nemoguć, nesaglasan, bez rešenja. Ovde smo sveli sistem na dve jednačine sa tri nepoznate, tako da se jedna nepoznata proglasi za parametar i ostale izraze preko tog parametra. Sistem ima beskonačno mnogo rešenja:
[dispmath]x_3=a[/dispmath][dispmath]x_2=6+5a[/dispmath][dispmath]x_1=-3-3a[/dispmath]
Uvrštavanjem dobijenih rešenja u polazni sistem uveravamo se u tačnost dobijenog rešenja.