MATEMANIJA

Neka je [inlmath](S,\cdot)[/inlmath] konacna semigrupa. Neka je [inlmath]e\in S[/inlmath] levi neutralni element, a [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] elementi skupa [inlmath]S[/inlmath] za koje vazi [inlmath]t\cdot a=e[/inlmath]. Dokazati da je svaka jednacina oblika [inlmath]a\cdot x=b[/inlmath], gde je [inlmath]b[/inlmath] proizvoljan fiksan element skupa [inlmath]S[/inlmath], ima jedinstveno resenje u skupu [inlmath]S[/inlmath].

Sada, imam par nedoumica. Dakle, posto se radi o semigrupi, znamo da je operacija [inlmath]\cdot[/inlmath] zatvorena i asocijativna na skupu [inlmath]S[/inlmath]. Da li, na primer, ovo [inlmath]t\in S[/inlmath] mozemo posmatrati kao levi inverzni element? Takodje, da li se resavanje ovog zadatka svodi na dokazivanje da je ova struktura ujedno i kvazigrupa?

Svakako imali smo jednu teoremicu koja kaze da ako je neka struktura semigrupa, postoji levi neutralni element i levi inverzni element, onda je ta struktura grupa (analogno i za desne).

Ne znam kako bih ovo poceo uopste.

[inlmath]a\cdot x=b[/inlmath] hajde da pokusamo da resimo ovu jednacinu mnozeci je sdesna sa [inlmath]t[/inlmath]; [inlmath]t\cdot a\cdot x=t\cdot b[/inlmath], kako je [inlmath]t\cdot a=e[/inlmath] sliedi [inlmath]e\cdot x=t\cdot b[/inlmath], a posto je [inlmath]e[/inlmath] levi neutral sledi [inlmath]x=t\cdot b[/inlmath] sto pripada [inlmath]S[/inlmath] jer i [inlmath]t[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] pripadaju [inlmath]S[/inlmath] (izvinjavam se jer ne koristim lateh, al nadam se da sam bio od koristi)

Ilija je napisao:Da li, na primer, ovo [inlmath]t\in S[/inlmath] mozemo posmatrati kao levi inverzni element?

Iz [inlmath]t\cdot a=e[/inlmath] očigledno je da [inlmath]t[/inlmath] predstavlja levi inverzni element elementa [inlmath]a[/inlmath]. Međutim, iz teksta zadatka se ne može zaključiti da svaki element skupa [inlmath]S[/inlmath] ima svoj levi inverzni element.

Ilija je napisao:Takodje, da li se resavanje ovog zadatka svodi na dokazivanje da je ova struktura ujedno i kvazigrupa?

Po definiciji kvazigrupe, potrebno je da obe jednačine, i [inlmath]a\star x=b[/inlmath] i [inlmath]y\star a=b[/inlmath], imaju jedinstveno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], odnosno po [inlmath]y[/inlmath]. Međutim, rešavanjem ovog zadatka dokazuje se samo jedinstvenost rešenja prve jednačine.
(Ovo govorim pod pretpostavkom da zadata operacija [inlmath]\cdot[/inlmath] ne predstavlja klasično množenje, pa da samim tim ne mora važiti komutativnost.)