MATEMANIJA

Pozdrav svima!

Treba da izracunam sledecu determinantu:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Radili smo ovo na vezbama, i imam ja neki postupak, a i video sam na forumu jedan veoma slican zadatak...medjutim, gledam to ja sad i nije mi bas najjasnije. Asistentkinja je to razvijala do determinante tipa [inlmath](n-2)\times(n-2)[/inlmath]. Zasto? Je l' to uvek tako? Nisam bas najbolje ukapirao.

Mislim da za
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Razvijamo determinantu po elementima prve vrste, zatim, dobijenu determinantu [inlmath](n−1)[/inlmath]-og reda po elementima prve kolone:
[dispmath]D_n=2D_{n-1}-\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & 2 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 2 & 1\\
0 & 0 & \cdots & 1 & 2
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}=2D_{n-1}-D_{n-2}[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\quad D_n-2D_{n-1}+D_{n-2}=0[/dispmath] Riješimo karakterističnu jednačinu [inlmath]\alpha^2-2\alpha+1=0\;\Longrightarrow\;\alpha_1=\alpha_2=1[/inlmath]

Pa je oblik rješenja [inlmath]D_n=C_11^n+C_2n1^n=C_1+nC_2[/inlmath]

Iz početnih uslova za [inlmath]D_1[/inlmath] i [inlmath]D_2[/inlmath] imamo:
[dispmath]D_1=C_1+C_2=2[/dispmath][dispmath]D_2=C_1+2C_2=3[/dispmath] Pa je [inlmath]C_1=C_2=1[/inlmath], odakle slijedi [inlmath]D_n=1+n[/inlmath]

Što će reći da je asistentica računala determinantu preko rekurzivnih relacija

Ilija je napisao:a i video sam na forumu jedan veoma slican zadatak...

Čisto ako nekog zanima, u pitanju je ovaj zadatak, i takođe je dat postupak rešavanja pomoću rekurentnih jednačina.

Moje pitanje je zasto se tu staje sa daljim razvijanjem determinante?

Zato što smo dobili rekurentnu relaciju, [inlmath]D_n=2D_{n-1}-D_{n-2}[/inlmath], kojom je [inlmath]n[/inlmath]-ti član niza predstavljen u funkciji samo dva prethodna člana, [inlmath]D_{n-1}[/inlmath] i [inlmath]D_{n-2}[/inlmath]. Sasvim dovoljno za rešavanje rekurentne jednačine. Nema potrebe razvijati dalje.

Imam dve primedbe:

• Kod rekurentnih jednačina koristi se termin "diferencna jednačina"
• Zašto označavate determinantu ovako:
  [dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
  2 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
  1 & 2 & 1 & \cdots & 0 & 0\\
  0 & 1 & 2 & \cdots & 0 & 0\\
  \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots& \vdots\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 2 & 1\\
  0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2
  \end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] kada determinanta mora biti kvadratna, ovo [inlmath]n\times n[/inlmath] je suvišno. Ili to, ili je suvišan indeks [inlmath]n[/inlmath] u [inlmath]D_n[/inlmath]

desideri: Mislim da nijedno [inlmath]n[/inlmath] nije suvisno. Jer ako bismo pisali bez [inlmath]n[/inlmath] u [inlmath]D_n[/inlmath] onda ne bismo mogli jasno da zapisemo rekurentnu vezu [inlmath]D_n-2D_{n-1}+D_{n-2}=0[/inlmath], a ako ne bismo pisali ovo [inlmath]n\times n[/inlmath] onda ponovo imamo problem jer nema ustaljene konvencije oko toga, tj. ne bismo mogli da znamo sta nam [inlmath]n[/inlmath] u [inlmath]D_n[/inlmath] oznacava (jer neko moze i sa [inlmath]D_n[/inlmath] oznaciti determinantu tipa [inlmath]2n\times2n[/inlmath]). Na kraju, ako si mislio da je dovoljno samo jedno [inlmath]n[/inlmath] u „indeksu“ determinante (umesto [inlmath]n\times n[/inlmath]), onda mislim da je to stvar ukusa (meni licno vise oku prija [inlmath]n\times n[/inlmath]).

Postovanje, vec nekoliko puta pokusavam da izracunam vrednost sledecu determinantu.... Ja sam probao da dodam prvi vrstu,, mnozujuci sa [inlmath]-1[/inlmath], ali te rekurente formule, tesko da ih nadjem...
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
-2 & -2 & -2 & \cdots & -2 & 3\\
-2 & -2 & -2 & \cdots & 3 & -2\\
-2 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
-2 & 3 & -2 & \cdots & -2 & -2\\
3 & -2 & -2 & \cdots & -2 & -2
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] Hvala vam mnogo.

Za pocetak mozes dodati sve vrste (osim prve) prvoj vrsti. Onda se odatle vidi kako se racunanje determinante svodi na racunanje determinante koja ima jedinice u prvoj vrsti. Takodje, dobije se da jedna od kolona ima sve iste elemente (osim onog naravno u prvoj vrsti), pa se ti elementi bas tom jedinicom iznad mogu svesti na nule. Odatle ne bi trebalo da je tesko zavrsiti sam zadatak (nema potrebe za rekuretnom formulom).

Hvala vam mnogo.