MATEMANIJA

Nikako da rijesim ovu determinantu
[dispmath]\begin{vmatrix}
n & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
n-1 & x & -1 & \cdots & 0 & 0\\
n-2 & 0 & x & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots& \vdots & \ddots &\vdots & \vdots\\
2 & 0 & 0 & \cdots & x & -1\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{vmatrix}[/dispmath]
gdje je [inlmath]n\in\mathbb{N}[/inlmath] i [inlmath]x\in\mathbb{R}[/inlmath]

Kad bi se rijesio prve kolone i vrste dobio bi trakastu determinantu za koju bi mogao primijeniti rekurentnu formulu. Odnosno nebi ni trebao, imao bi [inlmath]x^{n-1}[/inlmath] kao rjesenje, kao proizvod na glavnoj dijagonali.
Ali ako razvijem po prvoj vrsti opet se nisam rijesio prve kolone. Morao bi [inlmath]n[/inlmath] puta razviti po prvoj vrsti a to nije najbolji nacin.

A ne vidim neku drugu pravilnost da mnozim kolone/vrste i dodajem ostalim.

Moze li pomoc

Ako datu determinantu obeležiš sa [inlmath]D_n[/inlmath] i razviješ je po prvoj vrsti, dobićeš
[dispmath]D_n=n\underbrace{\begin{vmatrix}
x & -1 & \cdots & 0 & 0\\
0 & x & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & x & -1\\
0 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}}_{x^{n-1}}-(-1)\underbrace{\begin{vmatrix}
n-1 & -1 & \cdots & 0 & 0\\
n-2 & x & \cdots & 0 & 0\\
\cdots & \cdots & \ddots & \cdots & \cdots\\
2 & 0 & \cdots & x & -1\\
1 & 0 & \cdots & 0 & x
\end{vmatrix}}_{D_{n-1}}[/dispmath][dispmath]\Longrightarrow\quad D_n=nx^{n-1}+D_{n-1}[/dispmath]

---

A možeš krenuti i suprotnim smerom – izračunaš koliko je [inlmath]D_2[/inlmath], pa koliko je [inlmath]D_3[/inlmath], pa koliko je [inlmath]D_4[/inlmath]... i uočiš pravilnost...

---

P.S.

ss_123 je napisao:Odnosno nebi ni trebao,

„ne bi“ se piše razdvojeno; u prvom licu jednine se piše „ne bih“.

Mislim da nije loše drugu vrstu zadate determinante pomnožiti sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodati prvoj. Potom treću vrstu zadate determinante pomnožiti sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodati drugoj. Koliko sam gledao, ali kratko, priznajem, u prvoj koloni imam onda sve jedinice. Dalje može prostije nego što predlažete, naravno ako sam u pravu.

Išao sam po tim instrukcijama i dobio ovu determinantu:
[dispmath]\begin{vmatrix}
1 & -x-1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
1 & x & -x-1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & x & -x-1 & \cdots & 0 & 0 & 0\\
1 & 0 & 0 & x & \cdots & 0 & 0 & 0\\
\vdots & \vdots& \vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x & -x-1 & 1\\
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x & -x-1\\
1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & x
\end{vmatrix}[/dispmath]
Al' ne uočavam šta dalje...

Ja sam mislio da se sada poslednja vrsta pomnoži sa [inlmath]-1[/inlmath] i doda svakoj.
Čini mi se da se onda dobijaju sve nule ispod glavne dijagonale, osim poslednjeg keca. No zaista nisam proverio.
A ovo Danielovo je sto posto ok.

A onda razvijem po poslednjoj vrsti, ako sam u pravu.

desideri je napisao:Čini mi se da se onda dobijaju sve nule ispod glavne dijagonale, osim poslednjeg keca.

Jeste, dobiju se sve nule ispod glavne dijagonale, osim tog keca u „jugozapadnom“ uglu. Ali, upravo taj kec i „smeta“.

Mislim da bi ipak najbolje bilo da pokušaš da uradiš to do kraja, pa onda da javiš da l' si uspeo. Ovako samo nagađamo da l' ovaj način vodi do rešenja ili ne.