MATEMANIJA

Pozdrav svima

Pre nedelju dana sam dobio primer kolokvijuma koje su pisale druge grupe, i nisam mogao da dođem do resenja kod sledećeg zadatka.

Odrediti rang matrice:
[dispmath]\begin{bmatrix}
-2 & 6 & -4 & 8\\
-2 & 5 & 1 & 7\\
1 & -1 & -8 & -2
\end{bmatrix}[/dispmath] Pokušao sam da je uradim ovako:

zamenio sam prvi i treći red
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -1 & -8 & -2 \\
-2 & 5 & 1 & 7\\
-2 & 6 & -4 & 8
\end{bmatrix}[/dispmath] i onda sam množio prvi red sa [inlmath]2[/inlmath] i dodavao drugom redu i množio prvi red sa [inlmath]2[/inlmath] i dodao trećem redu
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -1 & -8 & -2\\
0 & 3 & -15 & 3\\
0 & 4 & -20 & 4
\end{bmatrix}[/dispmath] Dalje nisam znao kako da nastavim pa bih vas zamolio ako mozete da mi pomognete
Unapred hvala

Pozdrav, dobro došao.

U ovom obliku koji si dobio odmah možeš uočiti da su elementi druge vrste proporcionalni elementima treće vrste, što znači da je, ako matricu posmatramo kao matricu linearnog sistema jednačina, jedna od te dve vrste „suvišna“, tj. ne daje nikakve nove informacije. Zbog toga imamo samo dve linearno nezavisne jednačine, što znači da je rang ove matrice [inlmath]2[/inlmath].

A ako ipak hoćeš postupno – svedeš matricu na trapeznu formu množenjem druge vrste sa [inlmath]-\frac{4}{3}[/inlmath] i dodavanjem trećoj vrsti, čime dobijaš
[dispmath]\begin{bmatrix}
1 & -1 & -8 & -2\\
0 & 3 & -15 & 3\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] i pošto je broj ne-nula vrsta u trapeznoj formi jednak [inlmath]2[/inlmath], toliki će biti i rang matrice.

Zahvaljujem se na odgovoru