MATEMANIJA

[dispmath]A=\begin{bmatrix}
x & a & a\\
a & x & a\\
a & a & x
\end{bmatrix}\qquad B=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}[/dispmath] A zadatak glasi: Naći [inlmath]A^n[/inlmath] uz pomoć matrice [inlmath]B[/inlmath].

Znam da je [inlmath]A=aB+(x-a)E[/inlmath].
Šta raditi?

Jeste, polaziš od te formule. Zatim je stepenuješ sa [inlmath]n[/inlmath], tj. primeniš binomnu formulu [inlmath](a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n{n\choose k}a^{n-k}b^k[/inlmath].
Pošto ćeš tu imati razne stepene matrice [inlmath]B[/inlmath], potrebno je da te stepene odrediš – može se pokazati da za [inlmath]k\ge1[/inlmath] važi [inlmath]B^k=3^{k-1}B[/inlmath]. Zatim to uvrstiš u binomni razvoj, vodeći računa da [inlmath]B^k=3^{k-1}B[/inlmath] ipak ne važi za [inlmath]k=0[/inlmath]...
Izvuci zatim ispred sume sve činioce koji ne zavise od [inlmath]k[/inlmath], a u onome što ostane unutar sume pokušaj da prepoznaš binomni razvoj nekog novog stepena binoma.

E sad, ja sam ovim postupkom dobio [inlmath]A^n=\frac{1}{3}\left[(x+2a)^n-(x-a)^n\right]B+(x-a)^nE[/inlmath], što jeste tačan izraz (provereno), mada ne znam koliko je baš prihvatljivo kao traženi oblik zapisa, ali ne vidim način da se dobije išta jednostavnije...

No, treba biti i oprezan, binomna formula za matrice vazi ako matrice komutiraju, jer mnozenje kod matrica nije komutativna operacija. Ta komutativnost je u ovom zadatku trivijalno ispunjena, te mozemo koristiti binomnu formulu u ovom obliku.

Sto se tice zapisa, licno, konacno resenje bih zapisao u obliku konkretne matrice, tj. napisao bih veliku matricu. A i ovaj @Danielov nacin je sasvim prihvatljiv, tj. tacan. (ako neko ne priznaje taj zapis, onda ne mogu da ga castim ni jednim drugim epitetom sem da je „slepac“)

Hvala vam puno, dosta ste mi pomogli!

@Onomatopeja, thnx za dopunu.
A u vezi sa zapisom rezultata – ja sam onaj deo rečenice u zadatku, „uz pomoć matrice [inlmath]B[/inlmath]“, upravo shvatio tako da ne treba rezultat izraziti pomoću te velike matrice, već napisati uprošćen izraz u kojem figuriše matrica [inlmath]B[/inlmath].