MATEMANIJA

Pozdrav,

Integralni domen je komutativni prsten sa jedinicom i bez delitelja nule. Da li je to svaki prsten sa neutralnim elementom (ili je to bas broj [inlmath]1[/inlmath] ), u kome postoji inverzni za mnozenje?

Pozdrav

Svako polje je oblast cijelih (integralni domen), ali oblast ne mora biti polje. Na primjer, prsten cijelih brojeva je oblast koja nije polje.
Šta je polje? Polje je komutativan prsten sa jediničnim elementom u kome su svi nenulti elementi invertibilni

Inače, čini mi se da ovaj post i nije za ovu temu...

Da li mozes da mi navedes sta vazi kod ispitivanja neke strukture da li je integralni domen?

Pogledajmo neke primjere:

Prsten [inlmath]\mathbb{Z}[i]=\{m+ni\mid m,n\in\mathbb{Z}\}[/inlmath] je oblast cijelih.
Zašto? Zato što vrijedi zatvorenost u [inlmath]\mathbb{Z}[i][/inlmath], i sadrži [inlmath]1[/inlmath]
Odatle slijedi da je [inlmath]\mathbb{Z}[i][/inlmath] potprsten polja kompleksnih brojeva [inlmath]\mathbb{C}[/inlmath], što znači da je [inlmath]\mathbb{Z}[i][/inlmath] oblast cijelih.

[inlmath]\mathbb{Z}_6[/inlmath] nije oblast, jer [inlmath][2]_6\cdot[3]_6=[0]_6[/inlmath].

Ako je [inlmath]R[/inlmath] komutativan prsten sa jediničnim elementom u kome vrijedi skraćenje ([inlmath]R[/inlmath] mora imati bar dva elementa), tada je [inlmath]R[/inlmath] oblast cijelih.

U literaturi pise da je svako polje integralni domen tj. komutativni prsten bez delitalja nula sa [inlmath]1[/inlmath].
Kako je sad muguce da je [inlmath]\left(\mathbb{Z},+,\cdot\right)[/inlmath] integralni domen kad on nije polje nema inverzni?

Vrati se na definicije oblasti cijelih i polja, odatle se sve jasno vidi.

Cijeli brojevi formiraju komutativan prsten, koji ima i nulu i jedinični element, ali nema djelitelja nule. Što znači da je prsten cijelih brojeva oblast cijelih.
E sada, vratimo se na definiciju polja:
Polje je komutativan prsten sa jediničnim elementom u kome su svi nenulti elementi invertibilni. Jedini invertibilni elementi u prstenu cijelih brojeva su [inlmath]1[/inlmath] i [inlmath]-1[/inlmath]. Jasno je da nula ne može biti invertibilan element.

Kada ispituješ da li je neka struktura oblast cijelih, opet se vratiš na definiciju. Moraš ispitati komutativnost, da li se u toj strukturi nalazi jedinični elemnti, i da li postoje djelitelji nule.

Da li neka stuktura moze da bude i prsten i polje kao npr : [inlmath]\left(\mathbb{R},+,\cdot\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(\mathbb{Q},+,\cdot\right)[/inlmath] ?

Nadam se da ovaj odgovor zadovoljava:

Svako polje je tijelo (prsten sa dijeljenjem), ali svako tijelo ne mora biti polje (kvaternioni). Svako tijelo je prsten sa jedinicom, ali postoje prsteni sa jedinicom koji nisu tijela (npr. cijeli brojevi za komutativnost, matrice [inlmath]n\times n[/inlmath] sa koeficijentima u [inlmath]\mathbb{R},\;n>1[/inlmath], za nekomutativnost). Svaki prsten sa jedinicom je prsten, ali postoje prsteni koji nisu prsteni sa jedinicom (npr. gornje trougaone matrice [inlmath]3\times3[/inlmath] sa koeficijentima u [inlmath]\mathbb{R}[/inlmath])

Polja [inlmath]⊊[/inlmath] tijela [inlmath]⊊[/inlmath] prsteni sa jedinicom [inlmath]⊊[/inlmath] prsteni
i
Polja [inlmath]⊊[/inlmath] komutativni prsteni sa jedinicom [inlmath]⊊[/inlmath] komutativni prsteni [inlmath]⊊[/inlmath] prsteni

nikolageodezija je napisao:Integralni domen je komutativni prsten sa jedinicom i bez delitelja nule. Da li je to svaki prsten sa neutralnim elementom (ili je to bas broj [inlmath]1[/inlmath] ),

Ne mora biti baš broj [inlmath]1[/inlmath]. Neutralni element u odnosu na operaciju [inlmath]\star[/inlmath] je, apstraktno gledano, onaj element [inlmath]e[/inlmath] za koji važi [inlmath]e\star x=x\star e=x[/inlmath], za svako [inlmath]x[/inlmath] iz posmatranog skupa. U skupu prirodnih, celih, racionalnih, realnih i kompleksnih brojeva, i u odnosu na operaciju klasičnog množenja, to je broj [inlmath]1[/inlmath].
Dakle, i u definiciji integralnog domena misli se na neki uopšteni neutralni element [inlmath]e[/inlmath], a ne striktno na jedinicu kao broj.

mala_mu je napisao:Inače, čini mi se da ovaj post i nije za ovu temu...

Da, premestio sam iz „Teorije skupova“ u „Linearnu algebru“.