MATEMANIJA

Pozdrav svima. Izvinjavam se unapred ako kršim neki deo pravilnika, ali nisam siguran kako drugačije. Dakle, nisam našao nigde dovoljno dobro objašnjenje pomenutog pojma. Šta znači da je nešto vektorski prostor i potprostor? Dobro bi mi došao i neki primer. Hvala unapred.

Pozdrav

Prvo da vidimo šta je vektor. Vektori su usmjerene duži u prostoru. Kao i duž tako je i vektor određen sa dvije tačke, ali za razliku od tačaka duži razlikujemo početnu i krajnju tačku vektora. Za vektore se koriste oznake [inlmath]\overrightarrow{AB}[/inlmath], gdje je [inlmath]A[/inlmath] početna, a [inlmath]B[/inlmath] krajnja tačka vektora, ili jednostavnije [inlmath]\overrightarrow a[/inlmath], ako nema zabune oko toga koja je početna, a koja krajnja tačka vektora.

Svaki vektor je određen sa tri elementa:
[inlmath]1.[/inlmath] Dužinom usmjerene duži kojom je predstavljen (intenzitet)
[inlmath]2.[/inlmath] Pravom kojoj duž pripada (pravac)
[inlmath]3.[/inlmath] Jednim od dva moguća smjera na pravoj i to onim određenim od početne do krajnje tačke vektora (smjer)

Kako je dobro imati intuiciju i vizualizaciju šta su matematički objekti, ne možemo zanemariti formalne definicije tih objekata. Kada su objekti previše komplikovani, znati i moći primijeniti definicije mogu nas 'spasiti'.

Formalna definicija:
Aditivnu Abelovu grupu [inlmath](V,+)[/inlmath] nazivaćemo vektorskim ili linearnim prostorom nad poljem [inlmath]K[/inlmath], ako je definisano spoljašnje množenje [inlmath]K\times V\longrightarrow V[/inlmath], koje svakom uređenom paru [inlmath](\alpha,v)\in{K\times V}[/inlmath] pridružuje element [inlmath]\alpha\cdot v\in V[/inlmath], a koje zadovoljava sljedeće uslove:
[inlmath]1.\;(\alpha\cdot\beta)\cdot v=\alpha\cdot(\beta\cdot v)\\
2.\;(\alpha+\beta)\cdot v=\alpha\cdot v+\beta\cdot v\\
3.\;\alpha\cdot(v\cdot w)=\alpha\cdot v+\alpha\cdot w\\
4.\;1\cdot v=v[/inlmath]
Za svaki [inlmath]\alpha,\beta\in K[/inlmath], i svaki [inlmath]v,w\in V[/inlmath].

Prisjetimo se da je vektorski prostor [inlmath]V[/inlmath] neprazan skup koji zadovoljava dugačku listu aksioma. Vektorski prostor je mjesto gdje možemo sabirati i skalarno množiti vektore. Potprostor od [inlmath]V[/inlmath] je podskup od [inlmath]V[/inlmath] koji takođe zadovoljava sve te aksiome.
Trivijalni potprostori su [inlmath]\{0\}[/inlmath] i [inlmath]V[/inlmath].

Potprostor od [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] je ili koordinatni početak, ili prava kroz koordinatni početak (ili sam [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath]). Potprostor od [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath] je ili koordinatni početak, ili prava koja sadrži koordinatni početak, ili ravan koja sadrži koordinatni početak (ili sam [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath]). Ne možemo sve vektorske prostore vizualizovati u [inlmath]\mathbb{R}^2[/inlmath] ili [inlmath]\mathbb{R}^3[/inlmath], postoje mnogo komplikovaniji. Tada u igru ulazi formalna definicija.

Slobodni vektori čine vektorski prostor nad poljem realnih brojeva.
Skup matrica [inlmath]M_{mn}(K)[/inlmath] u odnosu na sabiranje matrica i množenje elemenata iz [inlmath]K[/inlmath] je vektorski prostor.
Skup polinoma [inlmath]K_n[x][/inlmath], stepena [inlmath]\le n[/inlmath], zajedno sa nula polinomom, je vektorski prostor u odnosu na sabiranje i množenje elementima polja [inlmath]K[/inlmath]. U odnosu na ove operacije i skup svih polinoma [inlmath]K[x][/inlmath] je vektorski prostor nad [inlmath]K[/inlmath].
Skup kompleksnih brojeva je vektorski prostor i nad poljem realnih i nad poljem racionalnih brojeva. Realni brojevi imaju strukturu vektorskog prostora nad poljem racionalnih brojeva.
Aditivna grupa polja [inlmath]K[/inlmath] je vektorski prostor nad [inlmath]K[/inlmath].

Ako je [inlmath]V[/inlmath] vektorski prostor nad poljem [inlmath]K[/inlmath], onda elemente iz [inlmath]V[/inlmath] zovemo vektorima, a elemente iz [inlmath]K[/inlmath] skalarima.