MATEMANIJA

Neka je skup [inlmath]S=\left\{p-q\sqrt8:p,q\in\mathbb{Q}\right\}[/inlmath]. Ispitati prirodu algebarske strukture [inlmath](S,+,*)[/inlmath], gdje su [inlmath]+[/inlmath] i [inlmath]*[/inlmath] standardne operacije sabiranja i mnozenja racionalnih brojeva, respektivno.
Za strukturu [inlmath](S,+)[/inlmath] nakon dokazivanja zatvorenosti u knjizi gdje je zadatak postavljen pise da se komutativnost i asocijativnost preuzimaju iz strukture [inlmath](\mathbb{R},+)[/inlmath]. Posle toga daljom analizom dokazana je abelova osobina ove strukture.
Za [inlmath](S/\left\{0\right\},*)[/inlmath] na isti nacin dokazana je abelova osobina sa preuzimanjem komutativnosti i asocijativnosti iz strukture [inlmath](\mathbb{R}/\left\{0\right\},*)[/inlmath]. Na kraju:
"Distributivnost mnozenja prema sabiranju preuzeta je iz strukture [inlmath](\mathbb{R},+,*)[/inlmath]".
Moje pitanje glasi:
U kojem slucaju moze da se iskoristi preuzimanje osobina iz vece strukture i kako je to ovdje moglo biti ocigledno? Ja uvjek ispitujem sve jer ne znam da li mozda u postavci karakteristicnog skupa ili operacije ima nesto sto remeti nasledjivanje osobina iz vecih struktura. Da li biste mogli da mi pojasnite na koji nacin to funkcionise?

Struktura [inlmath](A,\star)[/inlmath] može „naslediti“ komutativnost, asocijativnost i distributivnost od strukture [inlmath](B,\star)[/inlmath] ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath], a mislim da je dokaz za to sasvim trivijalan.
Npr. komutativnost. Treba, dakle, dokazati da, ako je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath] i ako u [inlmath](B,\star)[/inlmath] važi komutativnost, tada komutativnost važi i u [inlmath](A,\star)[/inlmath]. To znači, treba dokazati da, pod navedenim uslovima, za bilo koja dva elementa [inlmath]x,y\in A[/inlmath] važi [inlmath]x\star y=y\star x[/inlmath]. Pošto je [inlmath]A\subseteq B[/inlmath], to iz [inlmath]x,y\in A[/inlmath] sledi i [inlmath]x,y\in B[/inlmath], a pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] elementi skupa [inlmath]B[/inlmath] u kojem važi komutativnost za operaciju [inlmath]\star[/inlmath], time je dokazano da je [inlmath]x\star y=y\star x[/inlmath], a pošto su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] bilo koja dva proizvoljno odabrana elementa skupa [inlmath]A[/inlmath], odatle sledi da komutativnost važi u strukturi [inlmath](A,\star)[/inlmath].
Analogno i za asocijativnost i za distributivnost.