MATEMANIJA

[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 4 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 8 & \cdots & 1\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 2^n
\end{vmatrix}[/dispmath] Koristeći osobine determinanti početnu determinantu sam sveo na ovaj oblik:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1-2^n & 1-2^n & 1-2^n & \cdots & 2^n
\end{vmatrix}[/dispmath] Ovdje sam zaglavio, ne vidim šta bi bio sljedeći korak.

Negde imaš grešku u transformacijama, uvrsti [inlmath]n=1[/inlmath], [inlmath]n=2[/inlmath], [inlmath]n=3[/inlmath]... i videćeš da druga determinanta nije jednaka prvoj...

Prvo sam pomnožio prvu vrstu sa [inlmath]-1[/inlmath] pa dodao ostalima, osim posljednjoj, i dobio ovo:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
2 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 2^n
\end{vmatrix}[/dispmath] Onda sam pomnožio posljednju kolonu sa [inlmath]-1[/inlmath] i dodao ostalima i dobio onaj oblik:
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1-2^n & 1-2^n & 1-2^n & \cdots & 2^n
\end{vmatrix}[/dispmath] Gdje sam pogriješio?

Nigde. Izvinjavam se, moj propust. Potpuno prevideh onu jedinicu u gornjem desnom ćošku. S njom, dobijena determinanta je sasvim u redu. Sorry zbog zabune.

Znači, došao si do oblika
[dispmath]D_n=\begin{vmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
-1 & 0 & 0 & \cdots & 2^{n-1}-1 & 0\\
1-2^n & 1-2^n & 1-2^n & \cdots & 1-2^n & 2^n
\end{vmatrix}_{n\times n}[/dispmath] pa onda, razvojem po prvoj vrsti,
[dispmath]D_n=\Bigl[1\cdot3\cdot7\cdots\left(2^{n-1}-1\right)\Bigr]\cdot2^n+(-1)^{n-1}\begin{vmatrix}
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-1 & 0 & 0 & \cdots & 2^{n-1}-1\\
1-2^n & 1-2^n & 1-2^n & \cdots & 1-2^n
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath][dispmath]D_n=\Bigl[1\cdot3\cdot7\cdots\left(2^{n-1}-1\right)\Bigr]\cdot2^n+(-1)^n\left(2^n-1\right)\begin{vmatrix}
-1 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
-1 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
-1 & 0 & 0 & \cdots & 2^{n-1}-1\\
1 & 1 & 1 & \cdots & 1
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath] Sada u ovoj poslednjoj determinanti (obeležimo je sa [inlmath]A_{n-1}[/inlmath]), kako bismo u prvoj koloni dobili sve nule (izuzev u poslednjem polju te kolone), drugu kolonu pomnožimo sa [inlmath]\frac{1}{3}[/inlmath] i dodamo prvoj koloni, treću kolonu pomnožimo sa [inlmath]\frac{1}{7}[/inlmath] i dodamo prvoj koloni itd.
[dispmath]A_{n-1}=\begin{vmatrix}
0 & 3 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 2^{n-1}-1\\
1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}-1} & 1 & 1 & \cdots & 1
\end{vmatrix}_{(n-1)\times(n-1)}[/dispmath][dispmath]A_{n-1}=(-1)^n\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}-1}\right)\begin{vmatrix}
3 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 7 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \cdots & 2^{n-1}-1\\
\end{vmatrix}_{(n-2)\times(n-2)}[/dispmath][dispmath]A_{n-1}=(-1)^n\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2^{n-1}-1}\right)\Bigl[3\cdot7\cdots\left(2^{n-1}-1\right)\Bigr][/dispmath] i sad se to uvrsti u izraz za [inlmath]D_n[/inlmath]... Znam, ne dobije se baš lep izraz, ne tvrdim da se on možda ne bi mogao malo i ulepšati, al' to bih već prepustio tebi...

Hvala vam na detaljnom objašnjenju