MATEMANIJA

Data je kvadratna matrica [inlmath]A[/inlmath] reda [inlmath]n[/inlmath],
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}\qquad[/dispmath] Dokazati da postoje dva sopstvena vektora matrice [inlmath]A^TA[/inlmath] koji zadovoljavaju uslov [inlmath]x_2=\cdots=x_n[/inlmath], a zatim naci sopstvene vrednosti tih vektora.

Moja ideja je da prvo uradim transponovanje date matrice, zamenom kolona i redova, a zatim da je pomnozim sa datom matricom. Dalje me buni dokaz vezan za ispunjavanje ovog uslova... da li neko ima ideju kako da resim to, kako bih odredila sopstvene vrednosti?

Izračunaj prvo proizvod [inlmath]A^TA[/inlmath] (dobijenu matricu nazovimo [inlmath]B[/inlmath]). Njen sopstveni vektor biće matrica [inlmath]n\times1[/inlmath], a zbog uslova [inlmath]a_2=\cdots=a_n[/inlmath] možeš taj sopstveni vektor napisati kao [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath].
I onda postaviš uslov [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath], izmnožiš, uočiš u kakvoj su vezi [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]\lambda[/inlmath]...
Hajde, napiši šta dobiješ, pa po potrebi nastavljamo.

Najpre da ispravim samu sebe, umesto ove tri tackice na jednom mestu ide nula, ja se izvinjavam na tome.
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Dobila sam da je
[dispmath]A^T=\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Dalje, kad ovo pomnozim sa datom matricom, zbunim se jer ne znam da li je dobro ovako racunati to:
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Ne deluje mi bas kao logicno ovo sto dobijam, posto prvi put mnozim matrice reda [inlmath]n[/inlmath].

zlatna ribica je napisao:Najpre da ispravim samu sebe, umesto ove tri tackice na jednom mestu ide nula, ja se izvinjavam na tome.
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

Ne, ne, dobro je bilo onako kako je bilo napisano, ovo sad ne valja. Na osnovu poslednje kolone, ovako kako si je sad napisala, zaključilo bi se (pogrešno) da matrica ima samo pet vrsta. Zato ipak moraju da stoje te tri tačke po vertikali, umesto nule.

zlatna ribica je napisao:[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 0 & 0\\
1 & 0 & 1 & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0\\
1 & 0 & 0 & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath]

Biće da ovo nisi dobro otkucala u Latexu, verovatno si htela da otkucaš sledeće:
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
4 & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] i to je skoro pa tačan rezultat, samo što umesto četvorke u gornjem levom ćošku treba da stoji [inlmath]n[/inlmath] (red matrice), tj.
[dispmath]B=A^TA=\begin{bmatrix}
\color{red}n & 1 & 1 & \cdots & 1\\
1 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
1 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
1 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
\end{bmatrix}[/dispmath] Ovaj tvoj rezultat, s četvorkom, bio bi tačan samo za slučaj da je red matrice jednak [inlmath]4[/inlmath].

E, dobro, idemo sad dalje. Treba, znači, da postaviš jednačinu [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath], gde je [inlmath]x[/inlmath] sopstveni vektor matrice (koji je po uslovu zadatka oblika [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath]), dok je [inlmath]\lambda[/inlmath] sopstvena vrednost matrice. Dakle, uvrsti u tu jednačinu dobijenu vrednost za [inlmath]B[/inlmath], kao i [inlmath]x=\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath], pa reci šta dobijaš.

Isla sam danas da se konsultujem sa profesorom oko zadatka. Ovaj deo do sad je dobar, s tim sto mi je rekao da je vektor zapravo [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}[/inlmath] umesto ovoga [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath]. Da li ja mogu sad po dijagonali da oduzmem samo [inlmath]\lambda[/inlmath] posto je jednacina [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath] ekvivalentna sa [inlmath](B-\lambda I)x=0[/inlmath], gde je [inlmath]I[/inlmath] zapravo jedinicna matrica, a zatim da odatle izrazim [inlmath]\lambda[/inlmath]?

zlatna ribica je napisao:s tim sto mi je rekao da je vektor zapravo [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}[/inlmath] umesto ovoga [inlmath]\begin{bmatrix} a & b & b & \cdots & b \end{bmatrix}^T[/inlmath].

Nisam siguran da si dobro razumela profesora. Sopstveni vektor matrice treba da bude kolona-matrica, tj. matrica formata [inlmath]n\times1[/inlmath] i profesor ti je verovatno rekao da ona treba da izgleda ovako:
[dispmath]\begin{bmatrix}
x_1\\
x_2\\
\vdots\\
x_n
\end{bmatrix}[/dispmath] a pošto je ovakav oblik, kao što vidiš, nezgodan za zapis unutar teksta, zbog toga se unutar teksta ona zapisuje kao [inlmath]\begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T[/inlmath].

zlatna ribica je napisao:Da li ja mogu sad po dijagonali da oduzmem samo [inlmath]\lambda[/inlmath] posto je jednacina [inlmath]Bx=\lambda x[/inlmath] ekvivalentna sa [inlmath](B-\lambda I)x=0[/inlmath], gde je [inlmath]I[/inlmath] zapravo jedinicna matrica, a zatim da odatle izrazim [inlmath]\lambda[/inlmath]?

Možeš i tako, ali nisam siguran da time sebi nešto skraćuješ postupak. U svakom slučaju ne gine još jedno množenje matrica.
Izmnoži to (na koji god način ti je lakše), pa da vidimo šta se dobija.

Kad idem po ovom drugom principu, dobijam [inlmath](1-\lambda)^3(n-\lambda)^3=0[/inlmath]. Samo sam oduzela [inlmath]\lambda[/inlmath] po dijagonali jer smo mi tako radili kod nas na fakultetu, kad smo radili sopstvene vektore

Moram da korigujem svoj prethodni post posto nije tacan
Ako pomnozim matrice, dobijam sistem jednacina:
[dispmath](n-\lambda)a+(n-1)b=0\\
a+(1-\lambda)b=0[/dispmath] Kada determinantu ovog sistema izjednacim sa nulom, dobijam
[dispmath]\lambda^2-(n+1)\lambda+1=0[/dispmath] Resenja ove kvadratne jednacine su
[dispmath]\lambda_1=\frac{n+1+\sqrt{n^2+2n-3}}{2}\\
\lambda_2=\frac{n+1-\sqrt{n^2+2n-3}}{2}[/dispmath] Ako dobijena resenja vratim u drugu jednacinu, dobijam resenja za vektore
[dispmath]a_1=b\begin{bmatrix}
\frac{n+\sqrt{n^2+2n-3}-1}{2}\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath] a resenja za drugi vektor su
[dispmath]a_2=b\begin{bmatrix}
\frac{n-\sqrt{n^2+2n-3}-1}{2}\\
1\\
\vdots\\
1
\end{bmatrix}[/dispmath] Razumem veliku guzvu oko prijemnih ispita, ali ako je neko voljan da proveri da li sam dobro uradila sad, bila bih mnogo zahvalna

Sve OK, to je to.