MATEMANIJA

Neka je [inlmath]S\in M_3[/inlmath] invertibilna matrica i neka je [inlmath]U[/inlmath] skup svih matrica [inlmath]A\in M_3[/inlmath] za koje je [inlmath]S^{-1}AS[/inlmath] dijagonalna matrica. Dokazati da je [inlmath]U[/inlmath] potprostor od [inlmath]M_3[/inlmath], a onda odrediti jednu bazu i dimenziju tog potprostora. (Ako za neki skup tvrdite da je baza, to morate i dokazati.)

Imam problem oko ovog zadatka, nije mi jasno da li misli da je ta matrica [inlmath]S[/inlmath] fiksna, ili za svaku matricu iz tog skupa postoji neka druga matrica koja pravi od nje dijagonalnu.
Pretpostavljam da bi se pokazalo da je vektorski potprostor treba da pokazem one dvije osobine, ili da preko lineala pokusam (posto je svaki lineal vektorski potprostor). Ne mogu nikako da nadodjem na neku pocetnu ideju, jer mi se sve cine pogresne...

Shorty44 je napisao:Imam problem oko ovog zadatka, nije mi jasno da li misli da je ta matrica [inlmath]S[/inlmath] fiksna, ili za svaku matricu iz tog skupa postoji neka druga matrica koja pravi od nje dijagonalnu.

Verovatno je u pitanju prvi slučaj.
U drugom slučaju zadatak bi se sveo na pitanje da li je skup svih dijagonalizabilnih matrica i potprostor.

Dobro, neka je [inlmath]S[/inlmath] fiksna matrica iz [inlmath]M_3[/inlmath]. Neka su date dve matrice [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] iz skupa [inlmath]U[/inlmath]. Možeš li dokazati da [inlmath]A+B[/inlmath] i [inlmath]\alpha A[/inlmath] takođe pripadaju [inlmath]U[/inlmath]? Pritom će ti biti potrebna činjenica da je i skup dijagonalnih matrica jedan potprostor — dokaži prvo to ako nisi ubeđen.

Kada dokažeš da je [inlmath]U[/inlmath] zaista potprostor, njegovu bazu možeš naći tako što ćeš prvo naći bazu potprostora dijagonalnih matrica, a zatim odrediti odnos između te baze i tražene baze (hint: upravo [inlmath]S[/inlmath] je matrica prelaska). Dimenzija se zatim lako nalazi (dimenzije ta dva potprostora su jednake jer je [inlmath]S[/inlmath] invertibilna).

ubavic je napisao:hint: upravo [inlmath]S[/inlmath] je matrica prelaska

Ovde sam veliku glupost napisao. Izvinjavam se. Matrica [inlmath]S[/inlmath] nije matrica prelaska....
Ali ideja jeste ta. Možda neko od ostalih članova ima još neku ideju?..

ubavic je napisao:Pokušaću da nađem neki kontraprimer kasnije.

Evo jednog kontraprimera (nisam ga ja našao):
Neka je
[dispmath]A=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\qquad\text{i}\qquad B=\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Tada je [inlmath]B[/inlmath] već dijagonalna, a za [inlmath]A[/inlmath] važi [inlmath]P^{-1}AP=D[/inlmath] gde je
[dispmath]P=\begin{bmatrix}
1 & 0 & -1\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\qquad\text{i}\qquad D=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}[/dispmath] Međutim, [inlmath]A+B[/inlmath] je nilpotentna.